第02讲 函数的对称性与周期性-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第2讲 函数的对称性与周期性 【考点分析】 1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论 考点一：函数常见对称性结论 ①若函数对于任意的均满足，则函数关于直线对称． ②若函数对于任意的均满足则关于点对称． 考点二：函数常见周期性结论 若函数对于任意的都满足，则为的一个周期，且 几个常见周期性结论 ①若函数满足，则． ②若函数满足，则． ③若函数满足，则． ④若函数满足，则． ⑤若函数的图象关于直线，都对称，则为周期函数且是它的一个周期． ⑥函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周 ⑦函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数． ⑧若函数满足，则函数是以为周期的周期函数． 【题型目录】 题型一：利用周期性求函数值 题型二：利用周期性求函数解析式 题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数 题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用 【典型例题】 题型一：利用周期性求函数值 【例1】设是定义在上周期为2的函数，当时，，其中．若，则的值是 ． 答案：1 解析：是定义在上周期为2的函数，当时， ，， ， 【例2】设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________ 答案： 解析：，是周期为4的函数，所以 【例3】定义在上的函数对任意，都有，则等于 A. B. C. D. 答案：D 解析：，所以是周期为4的函数， 【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：所以，所以，，所以 【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数是定义在上的周期函数，且周期为2，当时，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的周期性，则，又根据函数在的解析式，求解的值，即可得的值. 【详解】解：由题可知 所以 又当时，，所以 即. 故选：C. 【题型专练】 1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知是R上的奇函数，且，当时，，则（       ） A．3 B． C．255 D． 【答案】B 【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解. 【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故， 故选：B 2.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则（       ） A．0 B．1 C．6 D．216 【答案】C 【分析】由可得函数周期为6，进而，最后求出答案. 【详解】根据题意，偶函数满足，即，是周期为6的周期函数，则，当时，，则，故 故选：C 3.（重庆南开高一上期末）函数的定义域为，且，.若对任意实数，都有，则（ ） A B. -1 C. 0 D. 1 答案：D 解析：由题意知，令，可得，因，所以所以，所以，所以，所以 4．（2022·云南红河·高一期末）已知是定义在R上的奇函数，，都有，若当时，，则（       ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】是定义在R上的奇函数得，有得到是周期函数，利用函数周期性可得答案. 【详解】是定义在R上的奇函数，，得，当时，，，都有，是周期为4的周期函数， . 故选：C. 5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得. 【详解】解：因为，所以，即， 所以是以为周期的周期函数， 又 所以， 又是定义在上的奇函数，所以，且当时，， 所以. 故答案为： 题型二：利用周期性求函数解析式 【例1】已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式为，当时，求函数的解析式。 答案： 解析：，所以是偶函数，又因，所以关于对称，所以，设，则，所以，因，所以；当时，，因此 因此当时，函数的解析式为 【例2】（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上周期为的函数，当时，，那么当时， ______. 【答案】 【分析】根据周期性求函数解析式即可. 【详解】解：因为当时，,是定义在上周期为的函数 所以，， 故答案为： 【例3】（2021·山东师范大学附中高三期中）设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，. (1)当时，求的解析式； (2)计算. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用奇函数和判断出为周期为4 的函数，用代入法求出解析式； （2）利用函数的