4.1.1 第2课时 条件概率的性质与应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教B版选择性必修第二册）京鲁辽

第2课时　条件概率的性质与应用 学习目标　1.掌握条件概率的性质.2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 导语 条件概率是概率的一种模型，该模型也具有概率的一切性质，让我们一起来学习吧！ 一、条件概率的性质 问题　若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)，那么如何计算事件C发生的条件下，事件A或B发生的概率？ 提示　P((B∪A)|C)＝P(A|C)＋P(B|C)． 知识梳理 条件概率的性质 假设A，B，C都是事件，且P(A)>0，则： (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝1； (3)若B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 例1　在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球、2个黄球、3个黑球、4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解　设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C. 方法一　P(A)＝，P(A∩B)＝＝， P(A∩C)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. ∴P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 故所求的概率为. 方法二　∵n(A)＝C＝9，n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5， ∴P((B∪C)|A)＝. 故所求的概率为. 延伸探究　在题设条件不变的情况下，求“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率”． 解　由缩小样本空间法求得在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或白球的概率P＝＝. 反思感悟　条件概率的性质及应用 (1)利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． 跟踪训练1　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率． 解　设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”， 则P(A)＝，P(A∩B)＝，P(A∩C)＝，所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝. 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. (2)在10 000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率． 解　设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则P(A)＝. P(A∩B)＝＝， P(A∩C)＝， ∴P(B|A)＝＝＝. P(C|A)＝＝＝. ∴P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝＝. 即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为. 二、条件概率的应用 例2　某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． 解　(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(A∩B)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率为. 反思感悟　首先根据实际问题求出P(A)，P(A∩B)， P(B)，然后利用条件概率公式，计算出概率． 跟踪训练2　晚会后，甲、乙、丙等五人站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则乙、丙二人相邻的概率是________． 答案　 解析　设“甲、乙二人相邻”为事件A，“乙、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)＝＝，A∩B表示事件“甲、乙且乙、丙相邻”，故P(A∩B)＝＝，于是P(B|A)＝＝. 1．知识清单： (1)条件概率的性质． (2)条件概率的实际应用． 2．方法归纳：转化化归、对立统一． 3．常见误区：在实际