第四章 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

§4.2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 学习目标　1.理解等差数列、等差中项的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题． 导语 同学们，上节课我们学习了数列的概念，并根据数列的递推关系求数列的通项公式，实际上，生活中有一种特别的数列，比如，和生肖有关的问题，大家属狗的居多一些，同样是属狗的，要么和你同岁，要么和你相差12的整数倍，今天我们就研究此类数列． 一、等差数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． ①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986. ②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275,270,265,260,255,250，… ③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 提示　对于①，我们发现1 758－1 682＝76,1 834－1 758＝76,1 910－1 834＝76,1 986－1 910＝76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986＋76＝2 062.对于②有270－275＝－5…；对于③，10－10＝0，有同样的取值规律． 知识梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 注意点：(1)概念的符号表示：an－an－1＝d(n≥2)；(2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)差必须是同一个常数；(4)公差可以是正数、负数、零；(5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列． 例1　判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9，…； ②9,6,3,0，－3，…； ③1,3,4,5,6，…； ④7,7,7,7,7，…； ⑤1，，，，，…. 解　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 反思感悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16 C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2 答案　ABC 解析　由等差数列的定义得， A项d＝0，故是等差数列； B项d＝3，故是等差数列； C项d＝，故是等差数列； D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 二、等差中项 问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2. 知识梳理 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b. 注意点：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝；(3)a3是a1和a5的等差中项． 例2　(1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知a，b的等差中项为 ＝(－＋＋)＝. (2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解　因为－1，a，b，c,7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 则b＝＝3， 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项， 所以c＝＝5. 所以该数列为－1,1,3,5,7. 反思感悟　若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝. 跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 三、等差数列的通项公式 问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝