第四章 4.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

§4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及通项公式 学习目标　1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数． 导语 同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数：100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列． 一、数列的概念与分类 问题1　观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…； 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 知识梳理 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3. 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 周期数列 项呈现周期性变化 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 注意点：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项． 例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)，，，，…； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，－1,2，－3,4，－5，…. 解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列． 反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？ (1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin ，…； (6)9,9,9,9,9,9. 解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列． 二、数列的通项公式 问题2　我们发现问题1中的①②③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示　对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈； 对于②，an＝n－1，n∈N*； 对于③，an＝2 023，n∈； 对于⑤，an＝n，n∈N*. 知识梳理 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 注意点：(1)并不是所有的数列都有通项公式；(