第四章 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 导语 在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息．在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任．你知道这其中的缘由吗？其实这其中的缘由可由我们之前所学的指数函数来解释，还记得我们之前构造向家长索要零花钱的函数吗，原来我们想知道具体某一天你会得到多少钱，而现在我们想知道的是，经过一段时间，你一共获得了多少零花钱． 一、等比数列前n项和公式的推导 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S＝2＋22＋23＋…＋27＝＝28－2＝254. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ 提示　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1＝18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年．同学们，看来学好数学是多么的重要． 知识梳理　 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn＝ 公式二 Sn＝ 注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论；(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)；(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项；(例如1＋2＋22＋…＋2n＝)． 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1＝27，a9＝，q<0. 解　(1)因为a1＝，q＝， 所以S8＝＝. (2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8. 又由q<0，可得q＝－， 所以S8＝＝＝＝. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立． 跟踪训练1　在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数． 解　设此数列的公比为q(易知q≠1)， 则解得故此数列共有5项． 二、等比数列中与前n项和有关的基本运算 例2　在等比数列{an}中． (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 解　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝. (2)方法一　由题意知 解得 从而S5＝＝. 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 从而或 又Sn＝＝126， 所以q＝2或. 反思感悟　等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，