第四章 4.3.2 第3课时 数列的综合应用（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

第3课时　数列的综合应用 学习目标　1.能够把实际问题转化成数列问题.2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程． 导语 一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！ 一、数列在实际问题中的应用 例1　小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10) 解　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则： A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x， A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x， …， A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0， 解得x＝ ＝≈883.5. 故小华每期付款金额约为883.5元． 反思感悟　(1)解应用问题的核心是建立数学模型． (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． (3)注意问题是求什么(n，an，Sn)． 注意： ①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． ②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． ③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． ④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 跟踪训练1　某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg 6≈0.778，lg ≈0.097)． (1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)； (2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元． 解　(1)设第n年的旅游业收入估计为an万元， 则a1＝400， a2＝a1＝a1， a3＝a2＝a2，…， an＋1＝an＝an， ∴＝，即数列{an}是公比为的等比数列， ∴Sn＝＝ ＝1 600， 即前n年旅游业总收入为1 600万元． (2)由(1)知Sn＝1 600， 令Sn>8 000，即1 600>8 000， ∴n>6，即lgn>lg 6， ∴n>≈8， ∴大约从第9年开始，旅游业总收入超过8 000万元． 二、数列在平面几何中的应用 例2　如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________． 答案　π 解析　设第n个正三角形的内切圆的半径为an， ∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的， 每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， ∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1， ∴数列{an}是以a为首项，为公比的等比数列， ∴an＝×n－1a， 设前n个内切圆的面积和为Sn， 则Sn＝π(a＋a＋…＋a) ＝πa ＝πa ＝×π＝π ＝π. 反思感悟　此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性． 跟踪训练2　侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形的边长是m，有人说，如此下去，蜘蛛网的长度也是无限的增大，那么，试问，侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗？设侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则(　　) A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)m C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m 答案　B 解析　由题意，从外到内正方形的边长依次为a1＝m，a2＝＝，a3＝＝，…，则数列是以首项为m，公比为的等比数列，所以Sn＝4·，当n→∞时， Sn→3(3＋)m. 1.知识清单： (1)数列在平面几何中的应用． (2)数列在实际问题中的应用． 2．方法归纳：构造法、转化法． 3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错． 1．河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共7层，它们构成一幅优美的图案．若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像个数依次是下层个数