第四章 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（教师word）-2021-2022学年高二数学【步步高】学习笔记（人教A版选择性必修第二册）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 学习目标　1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 导语 同学们，印度有一著名景点——泰姬陵，传说寝陵中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？大家通过预习可知，聪明的高斯给出了计算方法，这就是我们今天要研究的等差数列求和． 一、等差数列前n项和公式的推导 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花． 深浅，　　　　　 芬葩． 凝为雪，　　　　 错为霞． 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮． 已迷金谷路，　　 频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家． 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 问题2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？ 提示　方法一　对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关． 方法二　(如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n， 即S＝1＋2＋3＋…＋n， S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1， 避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和． 问题3　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d. 提示　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 知识梳理　 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注意点：(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和；(2)由公式二知d＝0时，Sn＝na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”；(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数． 二、等差数列中与前n项和有关的基本运算 例1　在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解　(1) 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39， ∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 跟踪训练1　在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝＝＝340. (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， 所以d＝－， 所以n＝15，d＝－. 三、利用等差数列前n项和公式判断等差数列 问题4　等差数列前n项和Sn＝na1＋d是关于n的二次函数，它可以写成什么形式？ 提示　Sn＝n2＋n. 例2　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． 延伸探究　若数列{an