第2章 第6节 对数与对数函数（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　对数与对数函数 1　理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2　了解对数函数的概念及其单调性与特殊点. 3　知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 知识梳理 1.对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1； ③a＝N； ④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 3.对数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称. 学霸笔记 1.换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1). (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2.换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3.对数恒等式：a＝N(a>0，且a≠1，N>0). 4.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 进阶诊断 1.判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　×　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数.(　×　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　×　) (5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　√　) 2.(必修第一册·P126T2改编)使式子log(2x－1)(2－x)有意义的x的取值范围是(　D　) A．x>2 B．x<2 C．<x<2 D．<x<2，且x≠1 3.(必修第一册·P160T5(2)改编)已知f(x)＝|lg x|，若a＝f()，b＝f()，c＝f(2)，则(　D　) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a 4.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　BC　) A．a>1 B．0<c<1 C．0<a<1 D．c>1 5.(必修第一册·P127T6(2)改编)若f(x)＝3x，则f(log32)的值为2. 6.若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞). 　对数运算 自主练通 1.(log29)(log32)＋loga＋loga(a)(a>0，且a≠1)的值为(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：原式＝(2log23)(log32)＋loga(×a)＝2×1＋logaa＝3. 2.(2021·甘肃兰州期中)设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　B　) A． B．10 C．20 D．100 解析：因为2a＝5b＝m， 所以a＝log2m，b＝log5m， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1， 又∵m＞0，∴m＝10. 3.(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg