第2章 微专题系列5 数学应用——奇偶性的一般化对称性（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

微专题系列之数学应用——奇偶性的一般化：对称性 　中心对称 (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________． [思维过程] 明确目标→求f(－a)． 提取信息→函数f(x)的解析式． 建立联系→从f(x)的中分离出奇函数g(x)＝ln(－x)，将问题转化为函数图象平移问题，并结合g(x)图象的对称性求解f(－a)的值． 规范解答→根据函数奇偶性的定义可知g(x)＝ln(－x)是奇函数，因此函数f(x)＝g(x)＋1，也即f(x)是由奇函数g(x)向上平移一个单位长度得到．对于奇函数g(x)，有g(a)＋g(－a)＝0，则f(a)＝g(a)＋1，f(－a)＝g(－a)＋1，于是f(a)＋f(－a)＝g(a)＋g(－a)＋2＝2.从而f(－a)＝2－f(a)＝－2. 答案：－2 方　法　规　律 根据以上解答过程可知，上述结果是可以一般化的.事实上，由于g(x)是关于点(0，0)成中心对称的，则f(x)＝g(x)＋b关于点(0，b)成中心对称，则有f(x)＋f(－x)＝2b.也即若f(x)关于点(0，b)成中心对称，则f(x)＋f(－x)＝2b.更一般地，若f(x)关于点(a，b)成中心对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.,上述结论其实反映了中心对称函数的一般性质，同时也告诉我们，将奇函数平移可以得到中心对称函数，若逆向探讨，则可以得到任何一个中心对称函数平移后都可以变成奇函数，这样便可以得到对称中心. 对于轴对称图象，有如下结论(可以结合三角函数的对称性来记忆)： f(x)＝f(－x)⇔f(x)关于直线x＝0成轴对称；f(a＋x)＝f(a－x)⇔ f(x)关于直线x＝a成轴对称；f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)关于直线x＝a成轴对称． 练1　已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　B　) A．0 B．m C．2m D．4m 解析：由f(－x)＝2－f(x)知f(x)的图象关于点(0，1)对称，而y＝＝1＋的图象也关于点(0，1)对称，因此两个函数的交点也关于点(0，1)对称，从而对于每一组对称点xi＋x′i＝0，yi＋y′i＝2， 所以(xi＋yi)＝xi＋yi＝(2i) ＝(yi＋y′i)＝×2m＝m. 　轴对称 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m [思维过程] 明确目标→求两图象交点横坐标之和. 提取信息→f(x)＝f(2－x)及函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)的图象交点坐标. 建立联系→f(x)＝f(2－x)⇒f(x)图象关于直线x＝1成轴对称，函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1成轴对称，从而它们的交点也关于直线x＝1成轴对称. 规范解答→根据上述轴对称的结论可知f(x)＝f(2－x)的图象关于直线x＝1对称，而y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，因此它们的交点也关于直线x＝1对称，运用上述中心对称问题的解决方法，每一组对称点的横坐标有xi＋xi′＝2×1，则xi＝×(2i)＝(xi＋xi′)＝×2×m＝m. 答案：B 练2　已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　C　) A．－ B． C． D．1 解析：函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)是由两个部分构成，即y＝x2－2x和y＝ex－1＋e－x＋1.不难发现，函数y＝x2－2x的图像关于直线x＝1对称．根据奇偶性的构成方式可知y＝ex＋e－x为偶函数，也即关于直线x＝0对称，而y＝ex－1＋e－(x－1)的图象是由y＝ex＋e－x的图象向右平移1个单位长度而得到，也即函数y＝ex－1＋e－x＋1的图象关于直线x＝1对称．综上，函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)的图象关于直线x＝1对称．又由于函数f(x)有唯一零点，那么这个零点只能是x＝1(可以类比二次函数有唯一零点只能是与x轴相切的情形)，所以f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $