第2章 微专题系列7 数学探究——指数式与对数式大小的比较（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

微专题系列之数学探究——指数式与对数式大小的比较 (多选)已知实数x，y满足log3x－log3y＜()x－()y，则下列结论正确的是(　　) A．＞ B．x3＜y3 C．2x－y＜1 D．ln(y－x)>0 [思维过程] 明确目标→根据已知不等式判断选项正确与否. 提取信息→所给不等式左边含对数式，右边含指数式. 建立联系→构造函数f(x)＝log3x－()x，判断其在(0，＋∞)上单调递增，可得0<x<y，再利用单调性逐一分析选项中的不等式是否成立即可. 规范解答→因为log3x－log3y＜()x－()y成立，所以x，y∈R＋， 由log3x－log3y＜()x－()y变形得log3x－()x＜log3y－()y， 令函数f(x)＝log3x－()x， 因为y＝log3x，y＝－()x都在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝log3x－()x在(0，＋∞)上单调递增，log3x－()x＜log3y－()y即f(x)＜f(y)，所以0<x<y，因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以＞，A正确；因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，所以x3＜y3，B正确； 因为x－y＜0，函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以2x－y＜20＝1，C正确；y－x＞0，ln(y－x)的符号可正可负，D错. 答案：ABC 方　法　规　律 解答此类问题应充分考虑已知条件的结构特征，通过构造函数，利用函数的单调性解决问题. 练1　若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　B　) A．0＜a＜1 B．＜a＜1 C．0＜a＜ D．a＞1 解析：由题意得a>0且a≠1， 所以a2＋1－2a＝(a－1)2＞0即a2＋1＞2a， 因为loga(a2＋1)＜loga2a＜0＝loga1， 所以解得＜a＜1. 练2　给出下列命题：①ln 2＞，②ln 2＞，③log23＞log58.其中真命题为(　C　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：∵ln 2＝ln 2＝ln ＞ln e＝1， ∴ln 2＞，故①正确； 对于函数y＝(x＞0)，y′＝， 当0＜x＜e时，y′＞0， 此时函数y＝单调递增， 因为0＜2＜e，所以＜＝，则ln 2＜，故②错误； 因为log23＝log2＝log2＞log21＝0， 即log23＞.又log58－＝log5＝log5＜log51＝0，即log58＜，因此，log23＞log58，故③正确. 学科网（北京）股份有限公司 $