第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　函数的奇偶性与周期性 1　结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义. 2　结合三角函数，了解函数周期性的概念及几何意义. 知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于坐标原点对称 (1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期)． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次． 学霸笔记 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x， (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　×　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　×　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　√　) 2．(多选)(必修第一册·P84例6改编)下列函数为奇函数的是(　BC　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　B　) A．－ B． C． D．－ 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 4．(必修第一册·P86T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(x)的解析式为f(x)＝. 5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，则f(9)＝1． 6．(必修第二册·P87T13改编)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为“函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数”，则函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是(1，－2). 　函数的奇偶性 自主练通 　函数奇偶性的判断 1．(2021·广东肇庆模拟)下列函数为偶函数的是(　D　) A．y＝sin x B．y＝ln(－x) C．y＝ex D．y＝ln 解析：由函数奇偶性的定义知D项为偶函数． 2．(多选)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　ABC　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：f(x)＝，则f(－x)＝＝－f(x)． 所以f(x)是奇函数， 所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数，所以f(x