第1章 第3节 不等式性质与一元二次不等式（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　不等式性质与一元二次不等式 1　理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 2　结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 3　了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4　了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 知识梳理 1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2．不等式的性质 (1)对称性(双向性)：a>b⇔b<a； (2)传递性(单向性)：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性(双向性)：a>b⇔a＋c>b＋c； (4)可乘性(单向性)：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)同向可加性(单向性)： a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (6)乘方法则(单向性)：a>b>0⇒an>bn(n≥1，n∈N)； (7)开方法则(单向性)：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)． 两个同向不等式可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3，但2×(－1)>(－1)×(－3)不成立． 3．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 4．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} {x|x≠－} R 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 解不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)时不要忘记a＝0时的情形． 学霸笔记 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒＜； (2)a＜0＜b⇒＜； (3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞； (4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0 ⇒＜＜. 2.两个重要不等式 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(b－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 进阶诊断 1．判断正误 (1)一个不等式的两边同时加上或乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　×　) (3)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　×　) 2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　A　) A．M ＞N B．M ≥N C．M＜N D．M≤N 3．(必修第一册·P43T8改编)下列命题为真命题的是(　B　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜ 4．(必修第一册·P42T3(2)改编)若A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为A＞B．(用“>”连接) 5．(必修第一册·P42T5改编)已知2<a<3，－2＜b＜－1，则2a＋b的取值范围是(2，5)． 　不等式的性质及应用 自主练通 1．(2021·江苏苏州中学月考)若b＜a＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②a＋b＜ab；③＜2a－b中，正确的不等式有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：由b＜a＜0知|b|>|a|，a＋b＜0＜ab，而(a－b)2＞0，则有a2＋b2＞2ab，即＜2a－b，即②③都正确． 2．(多选)(2021·江苏徐州月考)下列四个条件，能推出＜成立的有(　ABD　) A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 解析：因为＜等价于－＝＜0，当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B，D正确．又正数大于负数，A正确，C错误． 3．(2019·全国卷Ⅱ)若a>b，则(　C　) A．ln(a－b)>0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．|a|>|b| 解析：(方法一)不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可排除A，B，D． (方法二)由a>b，得a－b>0.但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>