第2章 微专题系列8 数学探究——嵌套函数的零点问题（Word教师用书）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

微专题系列之数学探究——嵌套函数的零点问题 对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 　嵌套函数零点个数的判断 已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________. [思维过程] 明确目标→求嵌套函数零点的个数. 提取信息→所给函数f(x)为分段函数且函数y为嵌套函数. 建立联系→令y＝0直接解方程求出f(x)的值，并作出其图象以及函数y＝1和y＝的图象，分析图象求解. 规范解答→由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1.作出函数y＝f(x)的图象如图所示. 由图象知直线y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，直线y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个. 答案：5 方　法　规　律 将条件分拆几个函数并准确画出相关函数的图象，数形结合是解决嵌套函数零点的常用方法. 练1　已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－的零点个数是(　A　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－＝0的根的问题.令f(t)－2t－＝0，则f(t)＝2t＋.分别作出y＝f(t)和y＝2t＋的图象，如图①，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2(不妨设t1<t2)，则t1＝0，1<t2<2； 图① 由图②，结合图象，当f(x)＝0时，有一解，即x＝2； 图② 当f(x)＝t2时，结合图象，有3个解.所以y＝f[f(x)]－2f(x)－共有4个零点. 　求嵌套函数零点中的参数 已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)则g(f(1))＝________； (2)若方程g(f(x))－a＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是________. [思维过程] 明确目标→求复合函数值和已知方程解的个数求参数取值范围. 提取信息→二次函数f(x)和分段函数g(x). 建立联系→(1)直接代入求值；(2)换元令f(x)＝t，将问题转化为函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象交点个数问题求解. 规范解答→(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t＜1)的图象如图， 由图象可知，当1≤a＜时，函数y＝g(t)(t＜1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是). 答案：(1)－2　(2)) 方　法　规　律 破解与复合函数零点个数有关的问题的关键：一是注意观察图象，即认真观察两个函数的图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接. 练2　已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的零点个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：令f(x)＝t，当f(t)＝0时，解得t＝或t＝－1.在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)，y＝－1，y＝的图象如图所示， 观察可知，y＝f(x)与y＝－1有1个交点，y＝f(x)与y＝有2个交点，则y＝f(f(x))的零点个数为3. 练3　(2021·重庆实验外国语学校开学考试)已知函数f(x)＝|4x－3|＋2，若函数g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点，则m的取值范围是(3，4). 解析：令g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1＝0， 即[f(x)－(m＋1)][f(x)－(m－1)]＝0， 解得f(x)＝m－1或f(x)＝m＋1. f(x)的图象如图所示，要使g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋m2－1有4个零点，只需解得3＜m＜4. 即m的取值范围是(3，4). 学科网（北京）股份有限公司 $