4.1等差数列及其通项公式（第1课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.1等差数列及其通项公式（第1课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 01等差数列的定义 03等差数列通项公式 02等差中项 目录 04等差数列实际应用 2 学习目标 1.理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用． 1. 等差数列的定义 1．等差数列的定义 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的公差，通常用字母___表示． 二 同一常数 常数 d 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( ) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( ) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( ) (4)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　) (5)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( ) √ × × √ √ 2. 等差中项 2.等差中项 【思路点拨】　可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c. 例1.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． 例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________． (2)已知， ， 是等差数列，求证：，，也是等差数列． (1)解析 由题意得 ∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6. (2)证明　∵ ， ， 成等差数列，∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)． ∵＋＝＝＝＝＝， ∴ ，，成等差数列． 反思感悟 等差中项应用策略 （1）求两个数的等差中项，即根据定义得. （2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若成等差数列，则有反之，若，则成等差数列. 3. 等差数列通项公式 3.通项公式 设等差数列 的首项是 ，公差为 ，则： …… …… 由此得到 例3、（1）求等差数列 8 ，5 ，2，· · · 的第 20项 . 解：（1）由 ， ，得等差数列的公差 所以，该等差数列的通项为 当 时， （2）-401 是不是等差数列 - 5，- 9，-13， · · · 的项？如果是，是第几项？ 14 解：（2）由 ， ， 得等差数列的公差 所以，该等差数列的通项为 假设-401是这个数列中的第 项，则： 解得 ： 所以-401是这个数列中的第 100 项. 例3、（1）求等差数列 8 ，5 ，2，· · · 的第 20项 . （2）-401 是不是等差数列 - 5，- 9，-13， · · · 的项？如果是，是第几项？ 例4. 已知{an}是等差数列，根据下列条件求它的通项公式：a5＝－2，a9＝6. 【思路点拨】　由条件列方程求得其首项与公差，即可由公式写出通项公式． 互动探究　在本例中，若条件改为“已知a5＝11，an＝1，d＝－2”，如何求n? 4. 等差数列实际应用 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少(为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的范围. 分析 该设备使用n年后的价值构成数列{an}，由题意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}为公差为－d的等差数列.10年之内（含10年），该设备的价值不小于万元；10年后，该设备的价值需小于11万元．利用{an}的通项公式列不等式求解． 4.等差数列的实际应用 解 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an＝an－1－d（n≥2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即解得19<d≤20.9. 所以，d的求值范围为19<d≤20.9. 反思感悟 等差数列在实际生产生活中也有非常