第01讲 空间向量及其运算-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第1讲 空间向量及其运算 考点分析 考点一：空间向量的共线问题 ①定义：空间中有向线段所在的直线互相平行或重合，则称这些有向线段构成的向量共线或者平行． ②空间直线的方向向量：在空间直线l上取一个非零向量a，则与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行共线，即对任意向量a，都有0∥a. ③共线向量基本定理：对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b的充要条件是存在非零实数λ使a＝λb. 考点二：空间向量的共面问题 ①定义：空间中平行于同一个平面的向量叫做共面向量． ②空间中共面向量基本定理：若两个非零向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得. ③空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使得， 考点三：空间中向量数量积的运算 ①定义：已知两个非零向量a，b，则a，b的数量积为． 规定：零向量与任何向量的数量积均为0. ②由数量积得出的几个常用结论： 1.若非零向量垂直，则，即a⊥b⇔a·b＝0. 2.，同理 3. 题型目录 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 题型二：共线、共面向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积 题型四：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 题型五：利用空间向量的数量积求线段的长度 典型例题 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 【例1】（2022·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】C 【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确； 对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； 对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； 对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确． 故选：C． 【例2】（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 依据正六棱柱的结构特征并利用向量加减法的几何意义去求. 【详解】 正六棱柱中， 故选：B 【例3】（2022·全国·高二课时练习）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结果为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可先画出正方体，根据向量加法的运算法则计算各式，再进行判断. 【详解】如图， ，所以A错误； ，所以B正确； ，所以C错误； ，所以D错误； 故选：B． 【例4】（2022·全国·高一单元测试）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量 【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON， 由G是的重心，可得， 则 则 故选：D 【题型专练】 1．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（       ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 2.（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，设，若，则=（            ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项. 【详解】连接 . 故选：A 3.（2021·山西·长治市上党区第一中学校高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 4．（2022·全国·高二课时练习）已知为正方体且，，，则______． 【答案】 【详解】正方体中 ，则 故答案为： 5.（2022·全国·高二课时练习）平行六面体中，若，，，那么______． 【答案】 【详解】平行六面体中 ，则 故答案为： 6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出： (1)的相等向量，的负向量； (2)用另外两个向量的和或差表示； (3)用三个或三个以