第01讲 空间向量及其运算-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第01讲 空间向量及其运算 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量及其线性运算 ·模块二 空间向量的数量积运算 ·模块三 课后作业 模块一 空间向量及其线性运算 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 4．共面向量 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【考点1 空间向量的线性运算】 【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【考点2 由空间向量的线性运算求参数】 【例2.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在长方体中，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【例2.2】（2022秋·山东烟台·高二校考阶段练习）在平行六面体中，点为棱中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.1】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023春·高二课时练习）设，，，，(其中、、是两两垂直的单位向量)，若，则实数、、的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点3 向量共线的判定及应用】 【例3.1】（2023秋·高二课时练习） 与共线是直线AB∥CD的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3.2】（2023·江苏·高二专题练习）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　) A． B． C． D． 【变式3.1】（2022·高二课时练习）已知非零向量，，且、、不共面．若，则（    ）． A． B． C． D． 【变式3.2】（2022·全国·高一专题练习）若，，，则､､（    ） A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形 C．可组成钝角三角