2.2 直线与圆的位置关系-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

2.2 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 1、几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 （1）直线与圆相离无交点； （2）直线与圆相切只有一个交点； （3）直线与圆相交有两个交点. 2、代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： （1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 二、直线与圆相交时的弦长求法： 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为： 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长； 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长 三、直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。 四、与圆的切线相关的结论 1、过圆上一点的圆的切线方程为； 2、过上一点的圆的切线方程为 3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为， 则切点弦所在直线方程为： 4、若圆的方程为， 则过圆外一点的切线长为. 5、圆心的三个重要几何性质： （1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在某一条弦的中垂线上； 题型一 直线与圆的位置关系判断 【例1】直线与圆的位置关系是_________.（相交，相切，相离） 【答案】相交 【解析】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相交. 【变式1-1】直线和的位置关系是______． 【答案】相切 【解析】圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离，则直线与圆相切； 故答案为：相切 【变式1-2】直线与圆的位置关系是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】B 【解析】圆，即，表示以为圆心、半径等于3的圆． 圆心到直线的距离． 再根据， 而的判别式， 故有，即，故直线和圆相交，故选：B． 【变式1-3】直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】C 【解析】直线即，过定点， 因为圆的方程为， 则， 所以点在圆内，则直线与圆相交.故选：C 【变式1-4】（多选）直线与圆的交点个数可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】． 令解得故直线l经过点． 又，所以点在圆C上， 故直线l与圆C的交点个数可能为1或2．故选：BC. 【变式1-5】（多选）在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】直线与y轴正半轴交于点，排除选项B； 直线与x轴交于点，而圆的圆心为， 因此，直线过圆的圆心，排除选项D； 当时，圆心在x轴负半轴上，选项A满足； 当时，圆心在x轴正半轴上，选项C满足. 故选：AC 题型二 根据直线与圆的位置关系求参数 【例2】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线可化为，则直线l过定点， 因为直线l：与圆C：有公共点， 所以定点在圆C上或圆C内， 可得，解得，故选：B 【变式2-1】已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线与圆有两个不同的交点， 所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以实数的取值范围是，故选：B. 【变式2-2】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围