湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评数学试卷

湖北省高中名校联盟2023届高三第一次联合测评 数学试卷 第 I 卷(选择题) 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 , 则 A. B. C. D. 2. 设 , 则 A. B. C. 1 D. 2 3.平面向量满足 , 则 的最小值为 A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 二项式 的展开式中含有常数项, 则的最小值等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知函数 是偶函数, 则 的值可能是 A. B. C. D. 6. 如图, 是自行车前轮外边沿上的一点, 前轮半径为0.25m, 若单车向前直行6.80m时(车轮向前顺时针滚动，无滑动),下列描述正确的是 A.点在前轮的左下位置,距离地面约为0.125m B.点在前轮的右下位置,距离地面约为0.125m C.点在前轮的左上位置, 距离地面约为0.375m D.点在前轮的右上位置, 距离地面约为0.375m 7. 对于正方体6个面的中心,甲, 乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线, 则所得的两条直线相互垂直的概率等于 A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为 , 若对于任意的 , 都存在, 使得, 则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9. 已知 分别是三棱锥的棱上的点(不是端点), 则下列说法正确的是 A. 若直线相交, 则交点一定在直线上 B. 若直线异面, 则直线中至少有一条与直线相交 C. 若直线异面, 则直线中至少有一条与直线平行 D. 若直线平行, 则直线与直线平行 10.已知 , 圆 , 则 A. 存在 3 个不同的, 使得圆与轴或轴相切 B. 存在 2 个不同的, 使得圆在轴和轴上截得的线段相等 C. 存在 2 个不同的, 使得圆过坐标原点 D. 存在唯一的, 使得圆的面积被直线平分 11.已知圆台的上下底面的圆周都在半径为 2 的球面上,圆台的下底面过球心,上底面半径为 , 设圆台的体积为 ,则下列选项中说法正确的是（） A. 当时, B. 存在最大值 C. 当在区间内变化时,逐渐淢小 D. 当在区间内变化时,先增大后淢小 12.已知抛物线 的焦点为,准线为, 过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点 (其中在的上方), 为坐标原点, 过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线 ,点 , 则 A. 若, 则直线的斜率为 B. C.若是线段的三等分点, 则直线的斜率为 D. 若不是线段的三等分点, 则一定有 第II卷(非选择题) 三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若直线与曲线 相切, 则的值为_____. 14. 已知双曲线 的左右焦点分别为 , 过作圆的切线 切圆于点并与双曲线的右支交于点, 若, 则双曲线的离心率为_____. 15. 若已知30个数 的平均数为6 ,方差为9 ; 现从原30个数中剔除 这 10个数,且剔除的这10个数的平均数为8,方差为5,则剩余的20个数 的方差为_____. 16. 设, 则的大小关系是_____. 四、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小題满分 10 分) 已知数列 满足 . (I) 求数列的通项公式; (II) 设 , 求数列 的前项和为. 18.(本小题满分 12 分) 在 中, 为上一点, . (I) 若为的中点, , 求的面积; (II) 若 , 求的面积的最小值. 19.(本小題满分 12 分) 有9个外观相同的同规格砝码,其中1个由于生产瑕疵导致质量略有增加, 小明想通过托盘天平称量出这个有瑕疵的砝码，设计了如下两种方案： 方案一:每次从待称量的砝码中随机选2个, 按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上, 若天平平衡，则选出2个砝码是没有瑕疵的；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，按此方法，直到找出有瑕疵的砝码为止. 方案二: 从待称量的砝码中随机选8个, 按个数平分后分别放在天平的左、右托盘上, 若天平平衡,则未被选出的那个砝码是有瑕疵；否则，有瑕疵的砝码在下降一侧，每次再将该侧砝码按个数平分，分别放在天平的左、右托盘上, , 直到找出有瑕疵的砝码为止. (I) 记方案一的称量次数为随机变量,求的概率分布; (II) 上述两种方案中, 小明应选择何种方案可使称量次数的期望较小? 并说明理由.