笔记&必记 第一章 空间向量与立体几何-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

第一章空间向量与立体几何 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 核心·呈现 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间，具有大小和方向的量 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 同名师点睛 任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示.因此， 空间向量的问题有时可转化为平面向量的问题. 2.空间向量的线性运算 加法 a+b=0A+AB=0B 减法 a-b=OA-O心=Ci 空间向量的线性运算 当A>0时，aa=入OA=P夜： 1Q 数乘 当A<0时，aa=λOi=M; A 2a(0>0) a(2<0) 当A=0时，Aa=0 0 D N 交换律：a十b=b十a; 运算律 结合律：a十(b十c)=(a十b)十c,A(a)=()a; 分配律：(A十)a=a十0，A(a十b)=Aa十b 同名师点睛 空间向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用三角形法则 或平行四边形法则求和，运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中， 可拓展延伸… 若O为空间中任意一点， D点P是线段AB中点的充要条件是O巾=之(Oi+OB: (2)若G为△ABC的重心，则OG=号(Oi+Oi+OC. 数学· ☑笔记&必记 3.共线向量与共面向量 共线（平行）向量 共面向量 表示若干空间向量的有向线段所在的 定义 平行于同一个平面的向量 直线互相平行或重合 若两个向量a,b不共线，则向量p与a,b共 对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥ 充要条件 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, b的充要条件是存在实数入，使a=沾 y),使p=a十地 4.空间向量的数量积运算 (1)空间两个向量的夹角： 定义 图示 表示 范围 a h 已知两个非零向量a,b,在空间任 取一点O,作O月=a,O=b,则 (a,b) [0,π] A ∠AOB叫做向量a,b的夹角. B b (2)空间两个向量的数量积 定义 记法 表达式 几何意义 已知两个非零向量a,b,则|a|b·cos〈a a·b=albl· a的模长与向量b在a方 a·b b)叫做a,b的数量积 cos(a,b) 向上的投影的乘积. (3)空间两个向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (Aa)·b=λ(a·b),λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a:btac 同拓展延伸… 空间两个向量数量积的性质总结： (1)若a,b是非零向量，则ab台a·b=0. (2)若a与b同向，则a·b=a·b1:若a与b反向，则a·b=-|a·b.特别地：a·a=|a或 两个向量数 a=√a·a 量积的性质 (3)若0为a,b的夹角，则c0s0=a:b a b (4)a·b≤a·b. (1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离或两直线所成角， 应用 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直. 典例·剖析 【例1一1一1】给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0：③在正方体ABCD 一AB1C,D,中，AD与BC是相等向量；④在空间四边形ABCD中，AB与C市是相反向量；⑤在三棱柱ABC-A1B,C, 中，与AA的模一定相等的向量一共有4个，其中真命题的序号为 2 ·数学 第一章空间向量与立体几何 【解析】①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等； ②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量： ③正确，AD与BC的模相等，方向相同： ④错误，空间四边形ABCD中，AB与C市的模不一定相等，方向也不一定相反： ⑤错误，在三棱柱ABC-AB,C中，与AA的模一定相等的向量是AA,B,B,B,CC,CC,一共有5个. 【答案】②③ 同规律方法 空间向量概念的辨析 (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可： (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1； (3)两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必 要不充分条件； (4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是设有意义的，但向量的模是可以比较大小的. 【例1-1-2】如图，在平行六面体ABCDA B C D中，AB=a,A市=b,AA=c, D E E为AD,的中点，F为BC与BC的交点， (1)用基底{a,b,c表示下列向量：DB,B,A市； (2)在图中画出DD+D范+C市化简后的向量. 【解】(1)DB-DC+CB-DC+BB-BC-a-b+c, E-Bi+AA+A在=-a+号b+c.A市-AB+Bd=a+号(b+c)=a