第一章 空间向量与立体几何(强化高分训练)-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

个法向量为n=(x1,y1,1),则由 若a与b的夹角为180°，则存在1<0，使 空间直角坐标系， 练习2解：在正四面体OABC中，|O 选择基向量，要选择空间的三个向量 F上0可得千’。 a=b(λ<0)，即(5,3,1) 则B(0,0,0),A(4√2， 于是 1OB1=1O心1=1. 不共面且模和夹角已知或可求，使下一步 Fp.n=0, 5=-2λ， 42,0),C(0,42,0) (OA.OB)=(OA,0心)=(OB.O心 的计算成为可能；基向量的运算常常与共 可取n=(λ，一入，1)，设平面PQMN的 A-2,-)所以 3=λt, 线向量定理、共面向量定理、平面向量基本 P(0,0,4√2)，E(0,2√2， =60° 评 一个法向量为m=(x2,y2,2).因为 定理等相结合，各个定理要理解准确， 1= 2√2) (1)OA·OB=1 AOB·cos∠AOB P=(2,2,1)-(0,0,入)=(2,2,0) ,PB⊥平面ABC,∴.PB⊥AC 练习4B解析：因为a=(1,n,2),b P=(1,0,2)-(0,0,)=(1,0,2-λ) 所以t= 6 又AC⊥CB,AC⊥平面PBC, 1X1Xcms60°=2 (-2,1,2), 由/.m0可得2十20， P衣.m=0. 。所以 x2十(2-λ)= 故t的取值范围是（一∞，一 )u(9,), .AC⊥PC. (2)(OA+Oi)·(CA+C) 所以2a-b=(4,2n-1,2). 又E,F分别为PC,PA的中点，∴.EF∥ =(OA+O)·(OA-O心+Oi-OC) 因为2a-b与b垂直，所以(2a一b)· 一2， 令2=1，则x2=λ一2,2 a,b的夹角是纯角与a·b<0并不等 AC,.EF⊥PC. =(OA+OB).(OA+OB-20C) b=0, x2=(-2)2 价，a·b<0中包含着(a,b)=180°的情形， 又BE⊥PC,BE∩EF=E,,PC⊥平 =OA2+2OA.Oi-2OA·O心+OB 2一入.于是取m=(一2,2一入，1)，若存在 所以-8+2m-1十4=0，解得，m=号， a,b)=180°的情形可利用a=b(入<0)， 面BEF, -2Oi.O心 λ，使得平面EFPQ与平面PQMN所成 也可利用a·b=一|a·|b|,即cos(a,b 而P心=(0,4√2，-4W2), =12+2×1×1×cos60°-2×1×1× 所以a=(1,吾，2 的二面角为直二面角，则m·n=(入一2 -1求得，同样a·b>0也包含着(a,b) 0的情形，解题时应把这种情况剔除 .平面BEF的一个法向量为n1=(0,1 2-,1)·(,-λ，1)=0，即（λ-2） cos60°+12-2×1×1×cos60° 一1)，设平面ABE的一个法向量为n2 =1+1-1+1-1 所以1a=√1+2+(=3g 2 A(2-)+1=0,解得入=1±2 ,故存在 3.A解析：直线1与l2所成的角与其方 (x,y,z),而BE=(0,2√2,2√2)，BA =1. 名 向向量的夹角相等或互补，且异面直线 (4√2,4√2,0)， 向量平行与垂直的坐标表示是重要知 X=1士号，使平面EFPQ与平面PQMN (3)OA+OB+OC=(OA+OB+OC)* 识点，应熟练掌握.含参数的向量平行，在 所成角的范国为(0，乏故选A. 则nE=2②+22：=0，取x √/12+12+1+(2X1×1×c0s60)X3 应用比例式求参数时，要注意前提条件. 所成的二面角为直二面角。 n2·BA=42x+42y=0. 评 易 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直 1,则平面AEF的一个法向量为n2 =√6. 易错排查矫正练 错 角时，方向向量的夹角就是此异面直线所 名 练习5证明：以D为 6 成的角：当异面直线的方向向量的夹角为 (1,1,1),.cos1,n2= 3 坐标原点，建立如 1.解：由题意知a∥o,则号=+，y一2 师 进行数量积运算时，尤其要注意向量 纯角时，其补角才是异面直线所成的角 图所示的空间直角 2 ∴.二面角ABEF的平面角的余弦值 点 的夹角的选取， 音，可得p=30, 4.C解析：如图所示，直线与平面α所 评 坐标系Dxy 设正方体的棱长为 x2+y-2=2x②， 把①代入② 为 练习3(1)证明：AB=A官+BB,BC 1,则D(0,0,0),A 得x2+x一2=0，解得x=-2或x=1. 易 若两个平面的法向量分别为a,b,设两个 当x=一2时，y=一6；当x=1时 平面所成的角为，若两个平面所成的二面角 BB+BC. (1,0,0),D1(0,0, 为锐角，则cos0-cos(a,b):若两个平而所成 因为BB⊥平面ABC,所以BB·AB 1),A1(1