北京市第八中学2022-2023学年高三上学期8月测试一数学试题

2023届高三8月测试一 数学试题 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题 共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要 求的一项。 1. 若, 则 A. B. C. D. 2. 若,则 A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 圆心为且和轴相切的圆的方程是 A. B. C. D. 4. 下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是 A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为,则该函数的图像 A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称 C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称 6. 设是非零实数, 则“ ”是“ 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数; 1637年笛卡尔开始使用指数运算; 1770年, 欧拉发现了指数与对数的互逆关系, 指出:对数源于指数,对数的发明先于指数, 称为数学史上的珍闻. 若, 则的值约为 A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669 8.的展开式中的系数是 A. -210 B. -120 C. 120 D. 210 9. 水晶是一种石英结晶体矿物, 因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等, 常被人们制作成饰品.如图所示, 现有棱长为2cm的正方体水晶一块, 将其裁去八个相同的四面体, 打磨成某饰品, 则该饰品的表面积为(单位: ) A. B. C. D. 10. 在直角三角形中, , 则 A. -4 B. 4 C. -8 D. 8 第二部分 (非选择题 共 110 分) 二、填空题 共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分。 11. 设函数, 若,则实数的取值范围_____. 12. 以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_____. 13. 写出一个最小正周期为1的偶函数_____. 14. 在中, , 则的长为_____. 15. 设函数 则满足的的取值范围是_____. 三、解答题 共6小题, 共 85 分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 16. (本小题 13 分) 函数为常数,的图象如图所示. (I) 求函数的解析式; (II) 求的值. 17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (I)求证：平面； (II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下： 甲 乙 （Ⅰ）若从甲的局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率． （Ⅱ）如果，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为，求的分布列和数学期望． （Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出的所有可能取值．（结论不要求证明） 19. (本小题 15 分) 已知为椭圆 上任意一点,为左、右焦点, 为中点. 如图所示: 若 , 离心率 . （I）求椭圆的标准方程; (II) 已知直线经过 且斜率为与椭圆交于两点, 求弦长的值. 20．已知函数． （I）求的单调递增区间； （II）求证：曲线在区间上有且只有一条斜率为2的切线． 21．已知数集具有性质；对任意的，，与两数中至少有一个属于． （I）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （II）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，，，，，成等比数列． 测试一数学答案 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A D A B A B A A 2、 填空题 11. 12. 13.（答案不唯一） 15. 三、解答题 16.（I）；（II）． 【解析】解：（I）由图象可知，并且，所以， 又，即， 可得，，可得，， 又因为：，所以可得，所以； 故答案为： （II）由（1）得到． 故答案为： 17.（I）（II）见解析 【解析】(1)取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， (2)因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，