专题12 三次函数-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题12 三次函数 一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质 三次函数的图象有六种,如图： ( 图 (2) ) ( 图 (1) ) ( 图 (4) ) ( 图 (3) ) ( 图 (5) ) ( 图 (6) )对函数进行求导：是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当时,二次方程有两相异实根,且在的两边的符号相反,故函数存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当时,二次方程有两相等实根,且在根的两边的符号相同,这时函数只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当时；方程无实根,的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种. 仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设,得 整理得,.据多项式恒等对应系数相等,可得且,从而三次函数是中心对称曲线,且由知其对称中心仍然在曲线上.而是否具有特殊的意义？对函数进行两次求导,再令等于0,得,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足的正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线有二条.由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为. 若M（x1,y1）是三次曲线上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为,因点M上此切线上,故,又,所以,整理得：,解得,或. 综上所述,当点M是对称中心即时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简． 【例1】(2022届四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若对任意的,恒成立,求a的取值范围； (3)当a=3时,设函数,证明：对于任意的k<1,函数有且只有一个零点． 【解析】 (1)由求导得：,则,而, 所以函数在处的切线方程为：,即. (2),,令, 求导得：,当时,,当时,, 即函数在上单调递减,在上单调递增,当时,,则有, 所以a的取值范围是. (3)当a=3时,,由k<1得, 当时,,即函数在上单调递增,而,, 即函数在上有唯一零点,因此,函数在上有唯一零点, 当时,令,则,, 当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增, ,,因此,函数在上没有零点, 综上得,函数在R上有唯一零点, 所以对于任意的k<1,函数有且只有一个零点． (二)三次函数的零点 1.若三次函数没有极值点,则有1个零点； 2. 三次函数有2个极值点,则时有1个零点；时有2个零点；时有3个零点. 【例2】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数,其中. (1)若的极小值为－16,求； (2)讨论的零点个数. 【解析】（1）由题得,其中,当时,,单调递增,无极值；当时,令,解得或；令,解得,所以的单调递减区间为,单调递增区间为,,所以当时,取得极小值,所以,解得. （2）由（1）知当时,的极小值为,的极大值为, 当,即时,有三个零点,如图①曲线 ；当,即时,有两个零点,如图②曲线；当,即时,有一个零点,如图③曲线；当时,,易知有一个零点.       综上,当时,有一个零点；当时,有两个零点；当时,有三个零点. (三)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数 此类问题一般是先设出切点Q,写出曲线在处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数. 【例3】（2022届新疆伊宁市高三上学期第一次月考）已知函数在处取