专题11 常见函数模型的应用-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题11 常见函数模型的应用 一、考情分析 有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决. 二、解题秘籍 (一)常见对数型函数模型 1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0， 2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，. 3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，. 4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式. 【例1】函数，其中． (1)若，讨论的单调性； (2)若． （ⅰ）证明：恰有两个零点； （ⅱ）设为的极值点，为的零点，且，证明：． 【解析】（1）．∵时，，∴函数在上单调递增． （2）证明：（i）由（1）可知：．令，∵，，∴在上单调递减，又，且∴存在唯一解．且时，，时，，即函数在上单调递增，在单调递减．∴是函数的唯一极值点．令，可得，∴时，，∵．∴函数在上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．因此函数恰有两个零点；（ii）由题意可得：，即，∴，即，∵，可得．又，故，取对数可得：，整理可得：． (二)常见指数型函数模型 1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0， 2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，. 【例2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，证明：当时， 【解析】 (1)由题意得， ①时，恒成立，故在上单调递减， ②当时，若，，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， ③当时，若，，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； (2)证明：时， ， 要证， 即证， 即证， 令，上面不等式等价于， 要证明对于任意，都成立，即证单调递增， 又， 令，则， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 故，即恒成立， 故当时，，， 当时，，， 综上可得，又恒成立，故单调递增，故原不等式得证． (三) 常见三角函数模型 1.函数在上是减函数，函数在上是增函数， 2.与三角函数有关的常见不等式有：，，. 【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数． (1)记函数的导函数是．证明：当时，； (2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围． 【解析】 (1)．令，则． ∵，∴恒成立，即在R上为增函数． ∵，∴．∴． (2)． 由（1）知在R上为增函数． ∴当时，有，即； 当时，有，即． 当时，由，解得，，且在R上单调递减． ①当时，． ∵当时，有；当时，有；当时，有， ∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ∴满足0为函数的极小值点； ②当时，． ∴时，有恒成立，故在R上为减函数． ∴函数不存在极小值点，不符合题意； ③当时，． ∵当时，有；当时，有；当时，有， ∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数． ∴0为函数的极大值点，不符合题意． 综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为． (四) 或. 在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该函数在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时. 【例4】（2022届“云教金榜”N 1联考高三下学期5月冲刺）已知函数在处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求证：在区间上不存在零点． 【解析】（1），由题意可得，解得； （2）证明：要证在区间上不存在零点， 即证在区间上不存在方程根， 化简可得，即证函数与在区间上不存在交点． ，定义域， ，则在上单调递减，在上单调递增，； ，定义域， ，则在上单调递增，在上单调递减，； 又，即函数与在区间上不存在交点， 即在区间上不存在方程根，得证． (五) 或 讨论的性质要注意，该函数在和单调递减，在单调递增 【例5】（2022届贵州省六盘水市第五中学高三上学期期末）设函数，其中是自然对数的底数，. (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【解析】 (1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需， 令，，当时，，当时，，所以，故，即. (2)当时, ， 当时，， 当时，令，分离参数得， 由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为： 所以，即,即. 三、典例展示 【例1】（2022届吉林省东北师范大学附属中学高三第五次模拟）已知函数，， (1)判断函数的单调性； (2)证明：. 【解析】 (1)因为，，所以， 设，则， 因为，故，在区间上单调递减， 故，即， 所以函数在区间上单调递减. (2)证明：； 设，，在区间上单调递减， ，，即，即； 设，，， 则在上单调递增， ，， 即，所以. 综上，. 【例2】（2022届江西省九江市高三第三次模拟）已知函数. (1)当时，