专题10 函数中的同构问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之导数

专题10 函数中的同构问题 一、考情分析 近年来同构函数频频出现在模拟试卷导数解答题中，高考真题中也出现过同构函数的身影，可以说同构函数是同构思想在中学数学中最突出的运用，求解某些导数压轴题往往能起到秒杀效果. 二、解题秘籍 (一)同构函数揭秘 同构式是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式，导数中同构函数问题大多属于指对跨阶问题，比如与属于“跨阶函数”，而属于“跳阶函数”，对于指对跳阶的函数问题，直接求解，一般是通过隐零点代换来简化，并且有很大局限性，有些题若采用指对跨阶函数进行同构，可将跳阶函数问题转化为跨阶函数问题，从而使计算降阶，通常构造的同构函数有以下几类：，等，在一些求参数的取值范围、零点个数、不等式证明、双变量问题中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数等问题中常通过构造同构函数求解.利用同构函数解题要注意一些常见的凑形技巧，如；等. 【例1】已知函数． (1)讨论f(x)的单调性． (2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有． 【解析】 (1)解：由题意可得． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． (2)证明：由题得，时，对任意的，都有，即， 等价于，即. 设，则． 由，得；由，得． 则在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即，当且仅当时，等号成立． 设，则． 由，得；由，得． 则在上单调递减，在上单调递增． 因为，，所以有解， 则，当且仅当时，等号成立． 即，即． (二) 型同构 【例2】已知函数. (1)当时，求函数的单调区间： (2)若在恒成立，求实数的取值范围. 【解析】 (1)当时 设，则 即在递减，在递增， 当，当 而当所以当递减； 递增. 故函数增区间为，减区间为 (2)， 令 在递增，而， ，使，即 当时，在递减，当时，在递增 因为可变形为 又在递增， 由（**）可得 故取值范围为 (三)型同构 【例3】已知函数，． (1)若，求函数的极值； (2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围． 【解析】 (1)， 令，得或， 当或时，，当时，， 所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为． (2)， ，即， 即， 设，， 设，， 当时，，当时，， 所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增， ，即， 则函数在上单调递增，则由， 得在上恒成立，即在上恒成立． 设，， 当时，，当时，， 所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减， 所以， 故． (四)型同构 【例4】已知，若对任意，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【解析】由题意，恒成立，即恒成立， 所以恒成立， 构造函数，易知在R上单增， 所以恒成立，即， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以正实数a的取值范围. (五)型同构 【例5】已知，，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，求证：． 【解析】 (1)，当时，，即在上单调递减， 故函数不存在极值； 当时，令，得， x + 0 - 增函数 极大值 减函数 故，无极小值. 综上，当时，函数不存在极值； 当时，函数有极大值，，不存在极小值． (2)显然，要证：， 即证：，即证：， 即证：． 令，故只须证：． 设，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 即，所以，从而有． 故，即． 三、典例展示 【例1】已知 (1)当时，求的单调性； (2)讨论的零点个数． 【解析】 (1)解：因为，， 所以， 令，，所以在单增，且， 当时，当时， 所以当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增 (2)解：因为 令，易知在上单调递增，且， 故的零点转化为即，， 设，则， 当时，无零点； 当时，，故为上的增函数， 而，，故在上有且只有一个零点； 当时，若，则；，则； 故， 若，则，故在上有且只有一个零点； 若，则，故在上无零点； 若，则，此时， 而，， 设，，则， 故在上为增函数，故即， 故此时在上有且只有两个不同的零点； 综上：当时，0个零点；当或时，1个零点；时，2个零点； 【例2】（2022届北京大学附属中学高三三模）已知函数. (1)当时，若曲线与直线相切于点，求点的坐标； (2)当时，证明：； (3)若对任意，不等式恒成立，请直接写出的取值范围. 【解析】 (1)当时，. 设，则切线斜率. 由切点性质，得，解得. 所以点的坐标. (2)当时，，其中，则， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，且， 当变化时，变化情况如下表： 1 0 单调递减 极小值 单调递增 由上表可知，