2.1 圆的方程-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

2.1 圆的方程 一、圆的标准方程 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆， 定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 二、点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 三、圆的一般方程 1、定义：当时，方程叫做圆的一般方程. 其中为圆心，为半径. 2、一般方程与标准方程关系： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解.它表示一个点. （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆. 四、用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程. （2）根据已知条件，建立关于或的方程组. （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 题型一 圆的标准方程 【例1】已知，则圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据圆的方程为， 可得圆心坐标为，半径等于2.故选：B. 【变式1-1】已知圆，则其圆心与半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】已知圆， 则其圆心为，半径为 故选：D 【变式1-2】圆心在轴上，半径为1，且过点 的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得， 故圆的方程为，故选：A. 【变式1-3】圆心在直线上，且过点､的圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】设圆心，半径为，则圆的方程为， 把点和的坐标代入方程可得①， ②，解①②可得，， 故所求的圆的方程为． 【变式1-4】当为任意实数时，直线恒过定点，则以点C为圆心，半径为圆的标准方程______． 【答案】 【解析】直线可化为， 则，解得， 所以直线恒过定点， 所以以点C为圆心，半径为圆的标准方程是， 故答案为： 题型二 圆的一般方程 【例2】已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】由题，所以， 所以圆心坐标为，半径为，故选：B． 【变式2-1】（多选）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（ ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 【答案】AD 【解析】对于选项A、C，圆M的一般方程为， 则圆的标准方程为． 所以圆的圆心坐标，半径为5． 所以选项A正确，选项C不正确； 对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误； 对于选项D，令中的， 得或， 所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确．故选：AD． 【变式2-2】的三个顶点的坐标分别是，则的外接圆的标准方程是____． 【答案】 【解析】设所求圆的一般方程为：， 则圆经过三点， ，解得：， 则所求圆的一般方程为：， 所以的外接圆的标准方程是：. 故答案为：. 【变式2-3】若曲线上所有的点均在第二象限内，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】曲线， 即表示圆，圆心是，半径为. 故圆上任一点满足， 又因为任一点在第二象限内， 所以且，解得. 题型三 二元二次方程与圆的关系 【例3】若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 得， 由该曲线表示圆，可知， 解得或，故选：B. 【变式3-1】若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程化为标准式得 ，则.故选：D. 【变式3-2】设m为实数，若方程表示圆，求m的取值范围． 【答案】m>-1 【解析】方程表示圆， 则，解得. 所以m的取值范围为. 【变式3-3】已知表示圆，则实数a的值是_______． 【答案】 【解析】把方程化为，