第2章 2 函数的单调性与最值-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P261] A组　保分练 1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 解析　当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数． 答案　C 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A． B．－ C．－2 D．2 解析　函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)＜0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝. 答案　A 3．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2，3) D．[0，3) 解析　f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1， ∴f(2x－4)＞－1可化为f(2x－4)＞f(2)， ∴解得2≤x＜3. 答案　C 4．设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0，则下列结论一定正确的是(　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 解析　依题意得，f(x)在R上为增函数， 令f(x)＝x，则y＝在定义域(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故A错； y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错； y＝－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故C错． 答案　D 5．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析　f(x)＝作出y＝f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f(2－a2)＞f(a)得2－a2＞a，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.故选C. 答案　C 6．(2021·长春市高三质量监测)写出一个符合“对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0”的函数________． 解析　设x1＞x2，则x1－x2＞0.由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，得f(x1)－f(x2)＜0，所以函数f(x)在R上为减函数． 所以函数f(x)＝－x，f(x)＝等． 答案　f(x)＝－x(答案不唯一) 7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－， 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0. 综上，实数a的取值范围是. 答案　 8．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 解析　函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 答案　(－∞，1]∪[4，＋∞) 9．已知函数f(x)＝2a＋2x－(a>0，x>0). (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)在[1，3]上的最大值是最小值的2倍，求a的值． 解析　(1)证明　设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝2(x1－x2)＋(－)，由于0<x1<x2， 故x1－x2<0，－<0， 据此可得：f(x1)－f(x2)＜0， f(x1)<f(x2)， 即函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． (2)由函数的单调性结合题意可得：f(3)＝2f(1)， 即：2a＋6－＝2(2a＋2－1)，解得：a＝. B组　提升练 10．已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－1)＜f(x＋m)恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－∞，0) 解析　易知函数f(x)＝ 在x∈R上单调递减， 又f(2m－x)＜f(x＋m)在x∈[m，m＋1]上恒成立， 所以2m－x＞x＋m，即2x＜m在x∈[m，m＋1]上恒成立，所以2(m＋1)＜m，解得m＜－2. 答案　B 11．已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a