第3章 4 课时3 利用导数研究函数的零点-（课件+达标训练）2023新教材新高考数学【导学教程】新编大一轮总复习（北师大版）

[对应学生用书P288] A组　保分练 1．已知函数f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－，求方程f(x)＝0的解的个数． 解析　因为f(x)＝3ln x－x2＋2x－3ln 3－(x>0)， 所以f′(x)＝－x＋2＝＝， 当x∈(0，3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(3，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)max＝f(3)＝3ln 3－＋6－3ln 3－＝0， 因为当x→0时，f(x)→－∞； 当x→＋∞时，f(x)→－∞， 所以方程f(x)＝0只有一个解． 2．已知函数f(x)＝a＋ln x(a∈R). (1)求f(x)的单调区间； (2)试判断f(x)的零点个数． 解析　(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝()′ln x＋·＝， 令f′(x)＞0，解得x＞e－2，令f′(x)＜0，解得0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增． (2)由(1)得f(x)min＝f(e－2)＝a－， 根据f(x)的单调性画出f(x)的简图(图略). 显然a＞时，f(x)min＞0，无零点， a＝时，f(x)min＝0，有1个零点， a＜时，f(x)min＜0，有2个零点． B组　提升练 3．(2022·济南模拟)已知函数f(x)＝ (1)若a＝2，求f(x)的最小值； (2)若f(x)恰好有三个零点，求实数a的取值范围． 解析　(1)a＝2时，f(x)＝ 当x≤0时，f′(x)＝2(x＋2)ex， 令f′(x)＜0，得x＜－2，令f′(x)＞0，得－2＜x≤0， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0]上单调递增，此时f(x)的最小值为f(－2)＝－； 当x＞0时，f′(x)＝2(x－1)， 令f′(x)＜0，得0＜x＜1，令f′(x)＞0，得x＞1， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时f(x)的最小值为f(1)＝－. 因为－＞－，所以f(x)的最小值为－. (2)易知a≠0，且当x≤0时，f(x)有且只有一个零点－1， 所以f(x)恰好有三个零点等价于f(x)在(0，＋∞)上有两个零点． 令x2－ax＋＝0，得得a＞. 故实数a的取值范围是(，＋∞). 4．已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a＞0. (1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程； (2)若f(x)＝g(x)＋m 在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围． 解析　(1)因为f(0)＝a－1＝0，所以a＝1，此时f(x)＝ex－ex－1.所以f′(x)＝ex－e，f′(0)＝1－e. 所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝(1－e)x. (2)因为f(x)＝aex－aex－1， 所以f′(x)＝aex－ae＝a(ex－e). 当x＞1时，f′(x)＞0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0. 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x∈时，f(x)min＝f(1)＝－1. 令h(x)＝g(x)＋m＝－x3－x2＋6x＋m， 则h′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1). 当x＞1时，h′(x)＜0；当0＜x＜1时，h′(x)＞0. 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)max＝h(1)＝＋m. 要使f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解， 则h(x)max≥f(x)min，即＋m≥－1，即m≥－. 所以实数m的取值范围为. C组　冲刺练 5．已知函数f(x)＝ax ln x－x2＋1(a∈R). (1)当a＝2时，讨论函数f(x)的零点个数； (2)若x≥1时，都有f(x)≤0，求实数a的取值范围． 解析　(1)当a＝2时，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2ln x＋2－2x. 令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2＝(x＞0)， 令g′(x)＞0，得0＜x＜1，令g′(x)＜0，得x＞1， ∴g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)≤g(1)＝0，即f′(x)≤0， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(1)＝0，∴f(x)有唯一零点x＝1. (2)当x≥1时，ax ln x－x2＋1≤0恒成立， 即a ln x－x＋≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝a ln x－x＋，x∈[1，＋∞)， 则h′(x)＝－1－＝. ①当≤0，或Δ＝a2－4≤0，即a≤2时，h′(x)＜0， ∴h(x)在x∈[1，＋∞)上单调递减， ∴h(x)≤h(1)＝0成立． ②当a＞2时，Δ＞0. 设h′(x)