第2章 第10讲 指数与指数函数（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第10讲　指数与指数函数 1．通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 在指数函数中，比较大小、与其他知识结合考查指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用是考查的热点，题型一般为选择题、填空题，中档难度. [知识梳理] 1．根式 (1)根式的概念 ①一般地，如果__xn＝a__，那么x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子　　叫做根式，这里__n__叫做根指数，__a__叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)． ②＝ 2．指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝　　＝　　(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__. (2)实数指数幂的运算性质 ①aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈R)； ②＝__ar－s__(a>0，r，s∈R)； ③(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈R)； ④(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈R)． 3．指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴__上方__，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 单调性 __单调递增__ __单调递减__ 函数值变化规律 当x＝0时，__y＝1__ 当x<0时，__0<y<1__； 当x>0时，__y>1__ 当x<0时，__y>1__； 当x>0时，__0<y<1__ [注意] 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1和0<a<1两种情况． 常用结论　 (1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过三个定点：(1，a)，(0,1)，. (2)y＝ax(a>0，且a≠1)的图象特征：如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内图象越高，底数越大；在第二象限内图象越高，底数越小． (3)当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝x的图象关于y轴对称． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．化简(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 解析　因为x<0，y<0，所以＝(16x8y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.故选D项． 3．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝________. 解析 由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝. 答案 4．若函数f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值为2，则a＝__________. 解析 当a>1时，a＝2；当0<a<1时，a－1＝2，即a＝. 答案 2或 5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________. 解析 因为f(x)＝(a－2)x为减函数，所以0＜a－2＜1，即2＜a＜3.故实数a的取值范围为(2,3)． 答案 (2,3) 考点一　指数幂的化简与求值…………自主练透 1．(多选)下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝ B．2a－3＝(a>0) C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝(a>0) 答案　AD 解析　对于A项，(－2)－2＝，正确；对于B项，2a－3＝，错误；对于C项，(－2)0＝1，错误；对于D项，(a－)4＝，正确．故选AD项． 2．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y的值为________________． 解析 因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3　①，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y　②，由①②解得x