第2章 第9讲 二次函数与幂函数（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第9讲　二次函数与幂函数 1．了解幂函数的概念，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，理解它们的变化规律． 2．掌握二次函数的图象和性质． 3．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度. [知识梳理] 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数　y＝xα(α∈R)　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝__ax2＋bx＋c(a≠0)__； ②顶点式：f(x)＝__a(x－m)2＋n(a≠0)__； ③零点式：f(x)＝__a(x－x1)(x－x2)(a≠0)__. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在　　上单调递减；在　　上单调递增 在　　上单调递增；在　　上单调递减 奇偶性 当__b＝0__时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 　　 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 [注意] 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目的条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况． 常用结论　 (1)巧识幂函数的图象和性质 (2)记牢一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2,2)，则该函数的解析式为(　　) A．y＝2x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 答案　C 解析　设幂函数的解析式为y＝xα.因为幂函数y＝f(x)的图象过点(2,2)，所以2＝2α，所以α＝，所以该函数的解析式为y＝x.故选C项． 3．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是___________． 解析 因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为，所以≤2，即m≤16. 答案 (－∞，16] 4．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________. 解析 因为幂函数f(x)＝xα为奇函数，所以α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，所以α<0，故α＝－1. 答案 －1 5．函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________，最小值为________. 解析 因为f(x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，所以当x＝1时，f(x)min＝2，当x＝3时，f(x)max＝6. 答案 6　2 考点一　幂函数的图象及性质…………自主练透 1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)·x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 答案　A 解析　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2.故选A项． 2．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案　A 解析　因为a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5，且y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.故选A项． 3．(2022·山西怀仁月考)有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如