第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第8讲　函数的奇偶性与周期性 1．结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 2．结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 3．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性． 4．会判断和应用简单函数的周期性. 本讲以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性及对称性等交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度. [知识梳理] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于__原点__对称 [注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小__的正数，那么这个__最小__的正数就叫做f(x)的最小正周期． [注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论　 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (2)函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (3)函数对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案 (1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．(多选)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2|x| 答案　BD 解析　根据奇、偶函数的定义知，A项为奇函数，B，D项为偶函数，C项中函数的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性．故选BD项． 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3,2a]上的偶函数，则a＋b 的值是(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．0 答案　B 解析　因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3,2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B项． 4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝______________. 解析 因为f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案 －2 考点一　函数的奇偶性…………多维探究 角度一　判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解析 (1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)⇒－1<x<0或0<x<1，定义域关于原点对称，此时f(x)＝＝＝，故有f(－x)＝－＝