第2章 第7讲 函数的单调性与最值（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学一轮总复习(新教材 新高考)

第7讲　函数的单调性与最值 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题. [知识梳理] 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上__单调递增__.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是__增函数__ 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上__单调递减__.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是__减函数__ 图象描述 自左向右看图象是__上升的__ 自左向右看图象是__下降的__ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上__单调递增__或__单调递减__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间D__叫做函数y＝f(x)的单调区间． [注意] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有__f(x)≤M__； (2)∃x0∈I，使得__f(x0)＝M__ (3)∀x∈I，都有__f(x)≥M__； (4)∃x0∈I，使得__f(x0)＝M__ 结论 M为最大值 M为最小值 常用结论　 (1)函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上单调递增； ②<0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在D上单调递减． (2)函数最值存在的两条结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到； ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．(　　) (4)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．(　　) (5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　) 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．(2021·全国甲)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 答案　D 解析　对于f(x)＝－x，由正比例函数的性质可知，f(x)是减函数，故A项不符合题意；对于f(x)＝x，由指数函数的单调性可知，f(x)是减函数，故B项不符合题意；对于f(x)＝x2，由二次函数的图象(图略)可知，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C项不符合题意；对于f(x)＝＝x，由幂函数的性质可知，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故选D项． 3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为________________. 解析 自左向右看，图象是上升趋势的部分为增函数，对应的区间为[－1,1]和[5,7]． 答案 [－1,1]和[5,7] 4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________________. 解析 因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1<0，即k<－.故k的取值范围是. 答案 5．函数y＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________________. 解析 易知f(x)在[－2,0]上是减函数，所以f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝. 答案 考点一　确定函数的单调性(区间)…………多维探究 角度一　判断或证明函数的单调性 【例1】 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解析 设－1<x1<x2<1，因为f(x)＝a＝a，所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝.由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当