4.1 指数-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

4.1 指数 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果（，且），那么x叫做a的n次方根. 2、个数： （1）当n是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数， 这时的次方根只有一个，记为； （2）当n是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数， 这时，正数的正的次方根用符号，负的次方根用符号表示， 它们可以合并写成 【注意】0的次方根等于0. 二、根式 1、定义：式子叫做根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 2、性质：（，且） a； 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘， 它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 六、指数幂运算的四个原则： （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 （化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 七、条件求值问题的解题思路： 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 题型一 根式的概念理解 【例1】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因， 则有，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：D 【变式1-1】若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据根式和指数幂的运算性质，因为， 可化为，即， 可得，所以，即． 故选：B. 【变式1-2】若有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】 【解析】∵根指数为6，∴，∴． 故答案为：． 【变式1-3】若有意义，则是（ ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【解析】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数，故选：C. 题型二 根式的简单运算 【例2】有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】① 正确；② ，② 错误； ③ ，③ 错误； ④ ，若，则， 若，则，故④ 错误． 故选：A 【变式2-1】若，，则的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则，所以的值为1.故选：A 【变式2-2】下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当为偶数时， 可知，，故A，C错误． 当为奇数时，， 所以，，故B项正确，D项错误． 【变式2-3】已知，化简：_____． 【答案】 【解析】，． 【变式2-4】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4），． 【答案】（1）-2；（2）；（3）；（4） 【解析】（1） （2） （3） （4）原式， 当时，原式； 当时，原式． 因此，原式 【变式2-5】____________． 【答案】 【解析】. 题型三 分数指数幂与根式互化 【例3】将化成分数指数幂为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】．故选：B. 【变式3-1】将表示成分数指数幂，其结果是（ ） A． B． C．