第13讲 椭圆-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第13讲 椭圆 【考点梳理】 1.椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【解题方法和技巧】 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况. 2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n) 3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数. 4.求椭圆离心率的3种方法 (1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 【考点剖析】 【考点1】椭圆的定义 一、单选题 1．（2022·上海·高三专题练习）如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取椭圆的右焦点，连接，由平面几何的知识可得，进而可得，由椭圆的定义可得、，即可得解. 【详解】由题意可得该椭圆的半焦距，设椭圆C的方程为， 取椭圆的右焦点，连接，如图， 因为，所以，所以， 又，，所以， 所以，即，所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了运算求解能力及转化化归思想，对条件合理转化是解题关键，属于基础题. 2．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ， 点 是椭圆上三个不同的点， 则 “ 成等差数列” 是 “”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用焦半径公式结合充分条件、必要条件的定义可得正确的选项. 【详解】由题设有， 故 ， 而，故，同理，， 若 成等差数列，则，故， 若，则即， 故 成等差数列， 故“ 成等差数列” 是 “”的充要条件， 故选：C 二、填空题 3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________. 【答案】12 【分析】根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解. 【详解】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为， 连接， 所以周长为 故的周长的最大值为12， 故答案为：12. 4．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________. 【答案】6 【分析】根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果. 【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，， 所以，故焦点三角形中最大为，故有2个； 又、对应的直角三角形各有2个； 综上，使得是直角三角形的点的个数为6个. 故答案为：6 三、解答题 5．（2022·上海金山·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点. (1)求的周长； (2)当垂直于轴时，求直线的方程； (3)记与的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆的定