专题03 以四边形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟35道）-2023年中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）

 2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用） 专题03以四边形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟35道） 【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢 北京市中考数学倒数第二道压轴题会以四边形为载体的几何压轴题出现，要求学生理解和掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等. 常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有： （1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解． （2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度． （3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化． 【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分 【例1】（2018·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF=GC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）BH=AE，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）连接．根据对称的性质可得．．证明，根据全等三角形的性质得到．进而证明≌，即可证明； （2）在上取点使得，连接．证明≌，根据等腰直角三角形的性质即可得到线段与的数量关系． 【详解】 （1）证明：连接． ∵，关于对称． ∴．． 在和中 ， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴．， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴． 在和中 ． ∴≌， ∴． （2）． 证明：在上取点使得，连接． ∵四这形是正方形． ∴，． ∵≌， ∴． 同理：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴≌， ∴， 在中，，． ∴， ∴． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等知识，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心 1．（2014·北京·中考真题）在正方形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点． （）依题意补全图． （）若，求的度数． （）如图，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）图形见解析（2）25°（3） 【解析】 【分析】 （1）按照题意补全图形 （2）连接AE，根据轴对称性和正方形的性质可得∠EAD=∠PAB+∠PAE=130°，即可求解； （3）连接AE、BF、BD，根据轴对称性和正方形的性质可得∠ABF=∠AEF=∠ADF，从而得到，∠BFD=∠BAD=90°，再由勾股定理，即可求解． 【详解】 解：（1）补全图形如图所示： （2）连接AE， 根据题意得：∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∴∠EAD=∠PAB+∠PAE=130°， ∴∠ADF=∠AED==25°； （3）EF2+FD2=2AB2，理由如下： 连接AE、BF、BD， 由轴对称的性质可得：EF=BF，AE=AB=AD， ∴∠BEF=∠EBF，∠AEB=∠ABE，∠AED=∠ADF， ∴∠ABF=∠AEF=∠ADF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD， ∴∠ABD+∠ADB=90°，， ∴∠ABF+∠DBF+∠ADB=∠DBF+∠ADB+∠ADF=90°， ∴∠BFD=∠BAD=90°， ∴BF2+FD2=BD2 ∴EF2+FD2=2AB2． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（2015·北