3.1.3空间向量的数量积运算+3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示 导学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

( 导学提纲 ) ( 高二数学 ) ( 编撰人： 核对人： 审核人： ) 班级: 姓名: 学号: (理) 3.1.3 空间向量的数量积运算 一、学习目标、细解考纲 学 习 目 标 核 心 素 养 1. 空间向量数量积的概念；（重点) 2 能运用空间向量数量积判断向量的垂直,长度，夹角等(难点). 通过类比平面向量数量积的运算让学生掌握空间向量数量积的运算，并能解决简单问题，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。. 二、自主学习 1. 空间向量数量积的概念 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______ 交换律 a·b＝_____ 分配律 a·(b＋c)＝_________ a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a (3)空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b. ∠AOB；[0，π]； 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝____或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______ ④|a·b|≤|a|·|b| 2. 1.空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得p=xa+yb+zc. 2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk, 使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. （跳