考向10 函数与导数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）

考向10 函数与导数 1.【2022年全国甲卷第6题】6．当时，函数取得最大值，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由条件，得，所以，即， 所以．故选B. 2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数在区间的最小值、最大值分别为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，当时，；当时，；当时，.所以，;.又，所以;.故选. 3.【2022年新高考1卷第10题】10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】由题，，令得或， 令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D错误. 故选：AC 4．【2022年新高考1卷第12题】12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 5. 【2022年新高考2卷第14题】写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； 6.【2022年新高考1卷第15题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为： ．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式，得，或． 7.【2022年乙卷理科第16题】已知和分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】至少要有两个零点和，我们对其求导，， （1） 若，则在R上单调递增，此时若，则在上单调 递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，则，不符合题意。 （2） 若，则在R上单调递减，此时若，则在上 单调递增，在上单调递减，且。此时若有和分别是函数的极小值点和极大值点，且，则需满足，即，可解得或，由于，取交集即得。 1.求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上. ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为： （1）求f ′(x)； （2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号； （3）作出结论，时为增函数，时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若