专题2.10 幂函数与二次函数-重难点题型精练-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.10 幂函数与二次函数-重难点题型精练 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2022春•杨陵区校级期末）现有下列函数：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中幂函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，得出结论． 【解答过程】解：∵形如y＝xα（α为常数）的函数叫做幂函数， ∴①y＝x3、⑥y＝x是幂函数，故①⑥满足条件； 而②、⑦y＝ax（a＞1）是指数函数，故②⑦不满足条件； 显然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是幂函数，故③④⑤不满足条件； 故其中幂函数的个数为2， 故选：B． 2．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y＝﹣2x2相同，则y＝ax2+bx+c的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2﹣x+3 B．y＝﹣2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x+8 D．y＝﹣2x2+4x+6 【解题思路】根据已知，得到抛物线的交点式方程，进而根据抛物线形状与抛物线y＝﹣2x2相同，得到a＝﹣2，展开可得答案． 【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c形状与抛物线y＝﹣2x2相同， ∴a＝﹣2， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2x2+4x+6， 故选：D． 3．（5分）（2022春•玉林期末）幂函数（0≤m≤3，m∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是增函数，则m的值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．2和3 【解题思路】由题意可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，结合0≤m≤3，m∈Z，求出m的值． 【解答过程】解：由题意，可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数， ∵0≤m≤3，m∈Z，∴m＝2或3． 故选：D． 4．（5分）（2022春•咸阳期末）若函数f（x）＝x2﹣mx+10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　） A．[2，+∞） B．[﹣2．+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，﹣2] 【解题思路】f（x）为开口朝上的二次函数，在对称轴左侧函数单调递减可解． 【解答过程】解：由题意可知f（x）＝x2﹣mx+10的对称轴为：x， 故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，]， 又函数f（x）在（﹣2，﹣1）上是减函数， 所有﹣1，得m≥﹣2， 故选：B． 5．（5分）（2020春•韶关期末）若二次函数f（x）＝a（x+2）（x﹣4）的图象经过点（0，﹣4），则函数f（x）的最小值为（　　） A．﹣4 B．﹣5 C． D． 【解题思路】由题意可得4＝a（0+2）（0﹣4），解得a，可求函数解析式为f（x）x2﹣x﹣4，利用二次函数的性质可求其最小值． 【解答过程】解：∵二次函数f（x）＝a（x+2）（x﹣4）的图象经过点（0，﹣4）， ∴﹣4＝a（0+2）（0﹣4）， ∴a， ∴所求函数解析式为：f（x）（x+2）（x﹣4），即f（x）x2﹣x﹣4， ∴函数f（x）的最小值为f（1）． 故选：C． 6．（5分）（2021秋•渭城区期中）设函数f（x）＝mx2﹣mx﹣1，对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求实数m的取值范围（　　） A．m＞3 B． C． D．m＜1 【解题思路】函数在区间上恒成立问题，可转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的 【解答过程】解：（1）当m＝0时，f（x）＝﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m＝0； （2）当m≠0时，该函数的对称轴是x，f（x）在x∈[1，3]上是单调函数． ①当m＞0时，由于f（x）在[1，3]上单调递增，要使f（x）＜﹣m+5在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜﹣m+5即可． 即9m﹣3m﹣1＜﹣m+5，解得m，故0＜m； ②当m＜0时，由于函数f（x）在[1，3]上是单调递减，要使f（x）＜﹣m+5在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜﹣m+5即可， 即m﹣m﹣1＜﹣m+5，解得m＜6，故m＜0； 综上可知：实数m 的取值范围是：m． 故选：B． 7．（5分）（2021•南开区校级开学）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2﹣b2＜0． 其中结论正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】利用数形结合建立不等式关系，进而可以分析出a，b，c的符号，进而可以求解． 【解答过程】解：设f（x）＝y＝ax2+bx+c， 由图可得：且a＞0， 则