专题13 一元一次方程的难点题型复习-【一题三变系列】2022-2023学年七年级数学上册重要考点题型精讲精练(人教版)

专题13 一元一次方程中的难点 【思维导图】 1. 绝对值方程 例．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝ 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣ 故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣ (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； (3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是　 　（直接写出结果）． 【答案】(1)x=2或x= (2)12或20 (3)100 【解析】 【分析】 （1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可； （2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解； （3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解； (1) 解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4 当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2 当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x= 故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x= (2) 方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16 当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12 当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20 故，方程|a+b|的值为12或20 (3) 在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20； 根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时， 取最大值，最大值为100； 故答案为：100． 【点睛】 本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义． 变式．（2021·福建·晋江市季延中学七年级期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答一列问题： (1)若，则______．若，则_____． (2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______． (3)当，求的最大值和最小值． 【答案】(1)0；或0； (2)；； (3)最大值是15；最小值是； 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案； （3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可 (1) 解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等， ∴到1和1距离相等的点表示的数为：； ∵， 表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5， ∴或； 故答案为：0；或0； (2) 解：∵， 表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4， 又∵， ∴能取到的数在和1之间， 即， ∴能取到的最小值是，最大值是； 故答案为：；； (3) 解：根据题意， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，有最大值， ∴最大值为：； ∴当，，时，有最小值， ∴最小值为：； 【点睛】 本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． 2. 数轴上的动点问题 例．（2022·江苏·七年级专题练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”． （1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少； （2）①若点P运动到原点O时，此时点P　 　关于A→B的“好点”（填是或者不是）； ②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运动时间； （3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数． 【答案】（1）-2；（2）①不是；②1秒或10秒；（3）﹣4，﹣5，﹣12，﹣14，﹣32，﹣44 【解析】 【分析】 （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出PA和PB的长，再根据好点的定义即可求解；②根据题意可得PA＝t+8，PB＝|4﹣t|，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点A是关于P→B的“好点”时；当点A是关