笔记&必记 第一章 集合与常用逻辑用语-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第一章集合与常用逻辑用语[@ 第一章，集合与常用逻辑用语 1.1-集合的概念 ____________________ 【方法指导1─1】使用列举法时，需注意以下几点： a。元素之间用“，”隔开；b。元素不重复；c.元素无顺序；d。对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元 素有明显规律，那么部分元素可用省略号表示，但是必须要把元素间的规律显示清楚． 【方法指导1─2】选择集合的表示方法时，如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述，宜用列举法； 如果集合中的元素比较多或有无限个元素，宜用描述法． 【误区警示】元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由一些元素组成 的。元素与集合是相对的，如a与(a}的区别，a}表示的是一个集合a是集合{a}中的一个元素。集合也可以 作为元素，如集合{{a}，{b}}中，a}只表示其中的一个元素。 【例1─1—1】下列所给对象不能构成集合的是() A.一个平面内的所有点B.所有小于零的实数 _C.某校高一(1)班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客 【答案】C 【解析】A项，“一个平面内的所有点”的标准确定，能构成集合；B项，“所有小于零的实数”的标准确定， 能构成集合；C项，“某校高一(1)班的高个子学生”中高个子的标准不确定，因而不能构成集合；D项，“某一 天到商场买过货物的顾客”的标准确定，能构成集合． 【方法指导1─3】判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否具有确定性，即是否能找到一个明 确的标准，确定任意一个对象是否是给定集合中的元素． 【例1─1-2]已知集合A={0，1，2)，则集合B={x-y|x∈A.y∈A}中元素的个数是() A.1°B.3°C.5D.9 【答案】C 【解析】当x=0，y=0时，x-y=0；当x=0，y=1时，x一y=-1；当x=0，y=2时，x一y=-2；当x=1，y=0 时，x-y=1；当x=1，y=1时，x-y=0；当x=1.y=2时，x-y=-1；当x=2，y=0时，x-y=2；当x=2，y=1 时，x-y=1；当x=2，y=2时，x-y=0.根据集合中元素的互异性，知B中元素有0，-1，-2，1，2，共5个。 【名师点睛】集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组对象若不具备这三个特性， 则这组对象就不能构成集合． 数学·1ⅵ ☑笔记&必记 1.2集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 性质 集合A中任意一个元素 (1)A≤A: A二B(或 A 子集 都是集合B中的元素（即 (2)②二A; B2A) 若x∈A,则x∈B) 或A(B) (3)A二B,BCC→A二C 集合A是集合B的子集， (1)任何一个集合都不是其自身的真子集； AB(或 真子集 且集合B中至少有一个 (2)空集是任何非空集合的真子集； B星A) 元素不在集合A中 (3)真子集具有传递性 集合A,B中的元素相同 集合相等 A=B A(B) 或集合A,B互为子集 空集 不含任何元素的集合 0 空集只有一个子集，就是它的本身 【名师点睛】(1)研究一个给定集合的子集时不要忘记空集的特殊情况. (2)对于有限集合，一个集合的子集的个数仅与这个集合的元素的个数有关.若一个集合含有n个元 素，则该集合的子集个数为2”，非空子集个数为2”一1，真子集个数为2”一1，非空真子集个数为2”一2. (3)0,{0},心，{0}的区别与联系： ☑与0 0与{0} 0与{0} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 心是集合，0是实数 ☑不含任何元素，{0}含一个元素0 ⑦不含任何元素，{☑}含一个元素☑ 关系 0t0 0至{0y 0至{0}且⑦∈{⑦} 【例1一2一1】指出下列各对集合之间的关系： (1)A={-1,1},B={x∈Zx2=1}: (2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}: (3)A={xx是等边三角形}，B={xx是等腰三角形}； (4)A={x-1<x<4},B={xx-5<0}. 【解】(1)用列举法表示集合B={一1,1}，故A=B. (2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系， (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故 AB. A☐B (4)集合B={xx<5},用数轴表示集合A,B,如图所示，由图可知AB. -1012345x 【例1一2一2】已知集合A={x∈R|x<-2或x>3},B={x∈Ra≤r≤2a-1},若BCA,求实数a的 取值范围。 【解】D当B=乃时，有a>2a-1,得a<1;@当B≠时，有0>3. 2a-1<-2, 或 解得a>3.综 a≤2a-1a≤2a-1, 上，可知实