笔记&必记 第一章 集合与常用逻辑用语-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教B版2019)

第一章集合与常用逻辑用语 1.1集合 1.1.1集合及其表示方法 1.集合的概念及其表示方法 元素 研究的对象 集合的概念 集合 一些元素组成的总体 确定性 集合中的元素必须是确定的 集合中元素的特性 互异性 集合中任意两个元素都不同 无序性 集合中的元素没有前后顺序 元素a属于集合A 元素a是集合A中的元素 元素与集合的关系 元素a不属于集合A 元素a不是集合A中的元素 自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法 列举法 集合的表示方法 符号语言法 描述法 图形语言 自然数集：N 所有非负整数组成的集合 正整数集：N+或N 在自然数集N中，去掉元素0之后集合 几种常见数集 整数集：Z 所有整数组成的集合 有理数集：Q 所有有理数组成的集合 实数集：R 所有实数组成的集合 同方法指导… 使用列举法时，需注意以下几点： a.元素之间用“，”隔开；b.元素不重复；C.元素无顺序；d.对于含较多元素的集合，如果构成该 集合的元素有明显规律，那么部分元素可用省略号表示，但是必须要把元素间的规律显示清楚. ⊙误区警示 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由一些元素组成的. 元素与集合是相对的，如a与{a}的区别，{a}表示的是一个集合，a是集合{a}中的一个元素.集合 也可以作为元素，如集合{a},{b}中，{a}只表示其中的一个元素. 【例1】下列所给对象不能构成集合的是() A.一个平面内的所有点 B.所有小于零的实数 C.某校高一(1)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客 【答案】C 【解题思路】A.“一个平面内的所有点”的标准确定，能构成集合；B.“所有小于零的实数”的标 准确定，能构成集合；C.“某校高一(1)班的高个子学生”中高个子的标准不确定，因而不能构成集 合；D.“某一天到商场买过货物的顾客”的标准确定，能构成集合. ⊙方法指导… 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定，即是否能找到一个明确的标 准，确定任意一个对象是否是给定集合中的元素， 数学· ☑笔记&必记 【例2】已知集合A={0,1,2},则集合B={x一yx∈A,y∈A}中元素的个数是() A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】C 【解题思路】当x=0,y=0时，x-y=0;当x=0,y=1时，x-y=-1;当x=0,y=2时，x一y =-2;当x=1,y=0时，x-y=1;当x=1,y=1时，x-y=0;当x=1,y=2时，x-y=-1;当x =2,y=0时，x一y=2;当x=2,y=1时，x一y=1:当x=2,y=2时，x-y=0.根据集合中元素的 互异性，知B中元素有0，一1，一2,1,2，共5个. 名师点睛… 集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性.反过来，一组对象若不具备这三个特性，则 这组对象就不能构成集合· 2.区间的概念及几何表示 设a,b∈R,且a<b,我们规定： 定义 名称 符号 几何表示 {x|a≤x≤b 闭区间 [a,b] (xa<x<b 开区间 (a,b) a {xa≤x<b} 左闭右开区间 La,b) (x a<x<b) 左开右闭区间 (a,b] {xlx≥a} [a,十∞) xx-a (a,十∞) {xx≤b} (-∞，b] xx<bl (-o∞，b) 【说明】符号“十∞”读作“正无穷大”，“一∞”读作“负无穷大”，实数集R=(一∞，十∞). 同温馨提示… (1)区间是数集的一种表示方法，区间[a,b]的左端点a必小于右端点b,|b一a叫做区间的 长度 (2)无穷大是一个符号，不是数，用“∞”作为区间端点时要用开区间符号. 1.1.2 集合的基本关系 关系 自然语言 符号语言 维恩图 性质 集合A中任意一个元素 (1)ACA; ACB A 子集 都是集合B中的元素（即 (2)0CA: (或B口A) 若x∈A,则x∈B) 或(A(B) (3)AGB,BCC→AGC ·数学 第一章集合与常用逻辑用语侧 续表 关系 自然语言 符号语言 维恩图 性质 集合A是集合B的子集， (1)任何一个集合都不是其自身的真子集： A至B 真子集 且集合B中至少有一个 A (2)空集是任何非空集合的真子集： (或B星A) 元素不在集合A中 (3)真子集具有传递性 集合A,B中的元素相同 集合相等 A=B A(B) 或集合A,B互为子集 空集 不含任何元素的集合 0 空集只有一个子集，就是它的本身 可名师点睛… (1)研究一个给定集合的子集时不要忘记空集的特殊情况. (2)对于有限集合，一个集合的子集的个数仅与这个集合的元素的个数有关.若一个集合含有 个元素，则该集合的子集个数为2"，非空子集个数为2”一1，真子集个数为2”一1，非空真子集个 数为2”-2. (3)0,{0},⑦，{⑦}的区别