专题2.8 函数的周期性与对称性-重难点题型精练-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.8 函数的周期性与对称性-重难点题型精练 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2022春•北京期中）函数是（　　） A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 【解题思路】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶性的定义可得结论． 【解答过程】解：函数的最小正周期为T2π， 定义域为{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，关于原点对称， f（﹣x）＝tan（x）＝﹣tanf（x）， 则f（x）为奇函数． 故选：B． 2．（5分）（2022•合肥二模）函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（　　） A．直线x＝﹣e对称 B．点（﹣e，0）对称 C．直线x＝﹣2对称 D．点（﹣2，0）对称 【解题思路】计算f（x﹣4），f（﹣x）可得f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，可得f（x）的图象的对称性． 【解答过程】解：由f（x）＝ex+4﹣e﹣x，可得f（x﹣4）＝ex﹣e﹣x+4， f（﹣x）＝e﹣x+4﹣ex， 所以f（x﹣4）+f（﹣x）＝0， 则f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称． 故选：D． 3．（5分）（2022•道里区校级四模）已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝e5x+a，若，则（　　） A．e3+e B．﹣e3+e C．e3﹣e D．﹣e3﹣e 【解题思路】由周期性和奇偶性求得f（2）＝0，结合，可求得a＝e3，进而得到所求答案． 【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数， ∴f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0， 又， ∴，即e3+a＝2e3， ∴a＝e3， ∴， 故选：D． 4．（5分）（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f（x+1）是偶函数，且．则下列选项中说法正确的有（　　） A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2 C． D．f（x﹣2）是奇函数 【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D． 【解答过程】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0， 即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误； 由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1）， 即为f（﹣x）＝f（x+2）， 所以f（x+2）＝﹣f（x）， 则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）， 所以f（x）的周期为4，故B错误； 由f（）＝f（4）＝f（）＝f（）＝﹣f（）＝﹣1，故C错误； 由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确． 故选：D． 5．（5分）（2022春•日照期末）已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（　　） A．y＝f（x）是奇函数 B．y＝g（x）是偶函数 C．2是y＝f（x）一个周期 D．y＝g（x）关于直线x＝2对称 【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，y＝g（x﹣1）是定义域为R的偶函数，则y＝g（x）关于x＝﹣1对称， y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则y＝f（x）关于x＝1对称， 又由y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，则y＝f（x）关于原点中心对称，故y＝f（x）是奇函数，故A正确． 对于B，y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，故y＝g（x）也是奇函数，故B错误． 对于C，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则f（2+x）＝﹣f（2﹣x）， y＝f（x）关于x＝1对称，故f（﹣x+1）＝f（x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x）， 联立可得：f（﹣x）＝﹣f（﹣x+2），变形可得f（x）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，故C错误． 对于D，因为4是函数f（x）的周期，y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，所以（﹣2，0）−是y＝f（x）的中心对称，（﹣2，0）关于y轴对称为（2，0），为y＝g（x）的对称中心，故D错误． 故选：A． 6．（5分）（2022春•南通期末）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足f（﹣x+2）＝f（x+