专题2.7 函数的周期性与对称性-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.7 函数的周期性与对称性-重难点题型精讲 1．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期． 2．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 【题型1 函数的周期性及应用】 根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有 将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若T是函数的周期，则kT（k ∈Z且k≠0）也是函数的周期. 【例1】（2021秋•宿州期末）已知函数f（x）＝cosπx，则下列正确的是（　　） A．f（x）是周期为1的奇函数 B．f（x）是周期为2的偶函数 C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数 D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数 【解题思路】本题根据函数奇偶性的定义法进行判断即可，再根据余弦函数的周期性公式T进行计算即可得到正确选项． 【解答过程】解：由题意，可知 函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称， f（﹣x）＝cosπ（﹣x）＝cosπx＝f（x）， 故函数f（x）是偶函数； ∵T2， ∴f（x）是周期为2的偶函数． 故选：B． 【变式1-1】（2022春•船山区校级期中）函数是（　　） A．周期为π的偶函数 B．周期为π的奇函数 C．周期为2π的偶函数 D．周期为2π的奇函数 【解题思路】由二倍角公式将函数化简，由余弦函数的性质即可求解周期及奇偶性． 【解答过程】解：因为函数cos2x， 所以T＝π，且f（x）为偶函数． 故选：A． 【变式1-2】（2022春•云岩区校级期中）下列函数中，周期为π的奇函数是（　　） A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝tan2x D．y＝cos2x 【解题思路】利用三角函数的奇偶性与周期性判断即可． 【解答过程】解：∵y＝sinx的周期T＝2π，y＝tan2x的周期T，可排除A，C； 又∵cos（﹣x）＝cosx，∴y＝cosx为偶函数，可排除D； y＝sin2x的周期T＝π，sin（﹣2x）＝﹣sin2x，∴y＝sin2x为奇函数，∴B正确； 故选：B． 【变式1-3】（2021秋•五华区校级月考）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数的是（　　） A．y＝|sinx| B．y＝sin2x C．y＝2|cosx| D．y＝cos 【解题思路】分析每个选项中函数的周期性和单调性，利用排除法解题． 【解答过程】解：对于A，函数以π为最小正周期，且在区间（，π）上为减函数，符合题意； 对于B，以π为最小正周期，且在区间（，π）先减后增，不合题意； 对于C，函数在（，π）上单调递增，不合题意； 对于D，函数的周期是4π，不合题意； 故选：A． 【题型2 函数的对称性】 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； (2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题； (3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f (x)的图象关于直线x＝a对称(关于点(a,0)对称)． 【例2】（2022•福州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是（　　） A．f（﹣3）＝1 B．f（0）＝0 C．f（3）＝2 D．f（5）＝﹣1 【解题思路】由f（2﹣x）＝2﹣f（x），可令x＝1，x＝﹣3，再由f（x）的图象关于直线x＝3对称，可得f（5）＝f（1），求得f（﹣3），可得结论． 【解答过程】解：定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直线x＝3对称， 可得f（1）＝2﹣f（1），即f（1）＝1， 又f（5）+f（﹣3）＝2，且f（5）＝f（1）＝1， 所以f（﹣3）＝2﹣f（5）＝2﹣1＝1， 故选：A． 【变式2-1】（2022春•惠州月考）定义在R上的函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）＝2．若f（x）的图象关于直线x＝4对称，则下列选项中一定成立的是（　　） A．f（﹣2）＝1 B．f（0）＝0 C．f（4