2.5 圆的方程 -【讲练课堂】2022-2023学年高二数学同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

✬2.5 圆的方程 知 识 题 型 类 型 圆的方程 求圆的方程 重点、考点 与圆有关的对称及其应用 重点、考点 二元二次方程 二元二次方程与圆方程的关系 重点、考点 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系的判断 重点、考点 与圆有关的最值问题 几何类与代数结构类 重点、考点 一．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 二．圆的标准方程 圆的标准方程 圆心 半径 三．圆的一般方程 圆的一般方程 圆心 半径 四．二元二次方程与圆的方程 1.二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程， ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. 2.二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 五．点与圆的位置关系 圆的标准方程为一般方程为.平 面内一点到圆心的距离为. 位置关系 判断方法 几何法 代数法（标准方程） 代数法（一般方程） 点在圆上 点在圆外 点在圆内 六．与圆有关的最值问题 1.与圆的几何性质有关的最值问题 类型 方法 圆外一定点到圆上一动点距离的最值 最大值：；最小值：（为该定点到圆心的距离） 圆上一动点到圆外一定直线距离的最值 最大值：；最小值：（为圆心到直线的距离） 过园内一定点的弦的最值 最大值：直径；最小值：与过该点的直径垂直的弦 2.与圆的代数结构有关的最值问题 类型 代数表达 方法 截距式 求形如的最值 转化为动直线斜率的最值问题 斜率式 求形如的最值 转化为动直线截距的最值问题 距离式 求形如的最值 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 【注意】截距式与斜率式在学习直线与圆的位置关系后，都可转化为动直线与圆相切时取得最值.同时，需要注意若是斜率式，则需考虑斜率是否存在. 考点一 圆的方程 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据以线段为直径的圆的圆心为的中点，半径为求解. 【详解】 因为点，， 所以所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 故选：C 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是（ ）变1 A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 【答案】D 【解析】 【分析】 直接求出圆的圆心及半径，从而得到其标准方程. 【详解】 ∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心， 半径为|AB|＝＝5， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 故选：D 分别根据下列条件，求圆的方程：例2 （1）过点，圆心为； （2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线上； （3）过点，，且圆心在x轴上； （4）过点，和原点． 【答案】(1) (2)或. (3) (4) 【解析】 【分析】 根据已知条件和圆的标准方程、圆的一般方程的特征，利用待定系数法，即可求解. (1) 解：由题意，圆过点，圆心为， 可得半径，所以圆的方程为. (2) 解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上， 可设圆心为，则，解得或， 若，则圆心为，半径为，圆的方程为； 若，则圆心为，半径为，圆的方程为， 所以圆的方程为或. (3) 解：由题意，圆过点，，且圆心在x轴上 可设圆心为， 由，可得，解得， 即圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. (4) 解：由题意，圆过点，和原点， 设圆的方程为， 由，解得， 所以圆的方程为. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（ ）例3 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出是直角三角形，直接求出圆心和半径，即可求解. 【详解】 因为三个顶点的坐标分别为，，， 所以，所以， 所以是直角三角形，所以的外接圆是以线段为直径的圆， 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 故选：C 求满足下列条件的圆的方程，并画出图形：变2 （1）经过点和，圆心在x轴上； （2）经过直线与的交点，圆心为点； （3）经过，两点，且圆心在直线上； （4）经过，，三点． 【答案】(1)，图形见解析； (2)，图形见解析； (3)，图形见解析； (4)，图形见解析. 【解析】 【分析】 根据题意，利用待定系数法、直接法分别求出圆的方程，结合圆的标准方程确定圆心坐标和半径，进而即可画出对应