2.5.2 圆与圆的位置关系（九大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 . 3．已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 题型二 求两圆的交点坐标 4．圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 6．已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 7．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．圆与圆外切，则 ． 9．已知圆，圆. (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 10．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 11．已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为 12．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 题型五 相交圆的公共弦方程 13．已知圆：与圆：相交于，两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 14．已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 15．已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 题型六 两圆的公共弦长 16．两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 17．圆与圆的公共弦长为 18．已知圆，圆． (1)求圆与圆的公共弦长； (2)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 题型七 圆的公切线条数 19．与圆：和圆：都相切的直线有（   ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 20．已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有 条. 21．已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； (3)若，求圆与圆公切线的条数. 题型八 圆的公切线方程 22．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 23．已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则 . 24．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 题型九 圆的公切线长 25．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 26．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 27．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】A 【分析】由圆心距和半径和、差的关系即可判断. 【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，， 所以，故两圆外离. 故选：A. 2．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是 . 【答案】外切 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆面积可知直线过圆心，由此可求得的值；根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 由圆方程知：圆心，半径； 圆的面积被直线平分，直线过圆心， ，解得：，； 圆心距， 圆与圆的位置关系是外切. 故答案为：外切. 3．已知圆和圆. (1)判断和的位置关系； (2)求与的公共弦所在直线的一般式方程以及公共弦的弦长. 【答案】(1)相交 (2)， 【分析】（1）首先求解两圆的圆心距，利用两圆的位置关系的公式，即可判断； （2）两圆相减，即可求解两圆公共弦所在的直线方程，利用点到直线距离公式以及弦长公式求得正确答案. 【详解】（1）根据题意，圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 所以圆心距，因为， 故圆和圆相交. （2）将两圆方程相减，有， 所以两圆公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离， 故公共弦的弦长为. 题型二 求两圆的交点坐标 4．圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 5．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 6．已知圆：，圆：． (1)证明：圆与圆相交； (2)若圆M经过圆与圆的交点，且圆心M在y轴上，求圆M的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距即可推理得证. （2）联立两个圆的方程求出交点坐标，结合已知求出圆的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径； 于是，即， 所以圆与圆相交. （2）由，得， 将代入圆得：，当时，；当时，， 则圆与圆的交点为，，线段AB的中点坐标为， 而圆心M在y轴上，因此圆心M为，所以圆M的方程为. 题型三 由圆的位置关系确定参数或范围 7．如果圆上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆相交，根据圆与圆位置关系判断即可求实数的取值范围. 【详解】因圆上总存在两个点到原点的距离为2， 则圆和圆相交， 又圆的圆心为，半径为 两圆圆心距， 由得， 解得，即． 故选：A． 8．圆与圆外切，则 ． 【答案】1 【分析】根据圆与圆的外切关系，让圆心距等于两圆半径之和即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆化为标准方程， 圆心，半径，易知两圆圆心距为5, 根据两圆外切可得， ∴，∴，∴． 故答案为：1 9．已知圆，圆. (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求. 【答案】(1)3或. (2) 【分析】（1）根据两圆外切的条件直接可得； （2）将两圆的公共弦转化为直线与圆的相交弦问题，进而可得. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得， 解得或. 故实数的值为3或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线的方程为， 所以圆心到直线的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 题型四 由圆的位置关系确定圆的方程 10．已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 11．已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为 【答案】 【分析】求出线段的中垂线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，进而求出圆半径即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 由点，点，直线的斜率， 线段的中垂线过点，且斜率为，方程为，即， 直线的方程为，即， 由，得， 则所求圆的圆心，半径为， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 12．已知过点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆外切于点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得圆圆心，再由满足圆的方程，得到点在圆上，利用切线的性质，求得直线的斜率，进而求得直线的方程； （2）设圆的圆心坐标为，半径为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程. 【详解】（1）由圆，可化为， 可得圆心，半径为， 又由点满足圆的方程，可得点在圆上， 因为直线过点与圆相切，所以， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）设圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆经过点，且与圆外切于点， 可得，解得， 所以圆的方程为. 题型五 相交圆的公共弦方程 13．已知圆：与圆：相交于，两点，则点到直线的距离是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查两圆相交时公共弦所在直线方程的求法，以及点到直线的距离公式，解题的关键在于先求出两圆公共弦所在直线方程，再利用点到直线的距离公式计算点P到该直线的距离. 【详解】联立方程，两式相减得到直线方程 则点到直线的距离是 . 故选：C 14．已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 15．已知两圆和.求： (1)取何值时，两圆相内切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】(1)； (2)公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【分析】（1）求出两圆的圆心，半径，圆心距，可得若两圆内切，只能是，带入半径求解即可； （2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）设圆：，可化为， 则圆心，半径， 设圆：，可化为， 则圆心，， 由于圆心距，， 则要使得两圆内切，需，即，解得. （2）当时， 圆：， 两圆的方程相减，可得，即， 则两圆的公共弦方程为. 则圆心到公共弦的距离为， 由弦长公式，可得弦长为. 题型六 两圆的公共弦长 16．两圆与的公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差可得其公共弦所在直线的方程，利用点到直线的距离，由几何法求得弦长. 【详解】由，得两圆公共弦所在直线方程为. 圆心到直线的距离为. 所以公共弦长为. 故选：A. 17．圆与圆的公共弦长为 【答案】 【分析】两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用垂径定理计算即可得. 【详解】圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 圆可化为， 则该圆圆心为，半径； 有，，， 则，故两圆相交，两圆方程作差有： ， 即为公共弦所在直线方程，到该直线距离， 则公共弦长. 故答案为：. 18．已知圆，圆． (1)求圆与圆的公共弦长； (2)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据两圆方程求出两圆交点直线方程，再求出圆的圆心到直线距离，结合圆半径利用弦长公式求解； （2）设直线方程，联立圆方程，结合根与系数的关系得出中点的轨迹的参数方程，从而求出轨迹方程，再结合圆的圆心和半径明确定义范围． 【详解】（1）   圆，圆， 两圆交点的直线方程为：， 圆的标准形式为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆与圆的公共弦长． （2）    设直线的方程为，， 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，， 线段的中点的轨迹的参数方程为， ，，故， ，，，故，即， 又直线与圆相交，圆心到直线的距离， 解得，则，即， 线段的中点的轨迹的方程为． 题型七 圆的公切线条数 19．与圆：和圆：都相切的直线有（   ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】通过判断两圆位置关系可判断公切线条数. 【详解】由题意，，因此，圆的半径， 圆的半径，由可得两圆外切，有3条公切线. 故选:C. 20．已知圆：，圆：，则这两个圆的公共切线有 条. 【答案】3 【分析】先判断两个圆的位置关系，再确定公切线的条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的方程化为，圆心为，半径为， 圆心距为， 所以两圆外切，所以公切线有条. 故答案为：3 21．已知圆，直线，直线，. (1)探求与是否垂直； (2)若，判断与圆的位置关系； (3)若，求圆与圆公切线的条数. 【答案】(1)答案见解析 (2)相离 (3)0 【分析】（1）根据两直线垂直的判定方法求解讨论即得； （2）求出圆的圆心到直线的距离与圆的半径作比较即可判断； （3）先判断两圆的位置关系，即可判断两圆的公切线的条数. 【详解】（1）因为， 若，则与垂直； 若，则与不垂直. （2）当时，，圆， 则圆的圆心为，半径为， 因圆心到直线的距离为， 与圆相离. （3）当时，圆，圆， 则圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆得圆心距为， 则圆与圆内含，其公切线的条数为0. 题型八 圆的公切线方程 22．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：. 23．已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则 . 【答案】或 【分析】由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值. 【详解】由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.    情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 24．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】(1) (2)或或或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. （2）由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，     又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，    直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得.     可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）设过点的直线的方程为，整理为，     点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得.     又由，， 所以.    题型九 圆的公切线长 25．若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 26．已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为 . 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 27．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $