第04讲 导数中构造函数比大小问题题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结 【典型例题】 题型一：构造比较大小 此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较 【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案 【详解】 解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以． 故选：A. 【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小. 【详解】 设,则, 当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 故当时,函数取得最大值, 因为,, , 当时,,函数单调递减,可得, 即. 故选:C 【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（       ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小． 【详解】 解：构造函数，则， 当时，，时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时取得最大值， ， 由可得，故正确； ，由，可得，故错误； ， 因为函数在上递减， 所以，故正确； 因为，所以， 即，即，则， 即，故错误， 综上所述，有2个正确. 故选：B． 【点睛】 本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题． 【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解. 【详解】 解：令，则， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 因为，所以， 因为a，b，c均为区间内的实数，且，，， 所以， 所以， 故选：B. 【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系. 【详解】 令，则， 因此在上单调递减， 又因为，，， 因为，所以． 故选：B． 【题型专练】 1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解； 【详解】 解：令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以 又 所以，即. 故选：A 2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小. 【详解】 由题设，，，， 令且，可得， 所以有，则上递增； 有，则上递减； 又，故. 故选：B 3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题. 【详解】 首先，我们来考察一下函数，则 ， 令解得， 令解得， 故在区间上单调递增，在区间单调递减， 所以，（1），即，即，则正确； （2），即，即，则错误； （3），即， 所以，，则正确 故选：C. 4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案. 【详解】 设，则， 当时，，递增，当时，，递减， 当时，函数取得最小值， 由于 ，故，即， 故选：A 5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________. 【答案】          【解析】 【分析】 分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为