3.1.2 函数的单调性 -【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

3.1.2 函数的单调性 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 二、单调性定义的等价形式: 1、函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 2、函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 三、定义法证明函数单调性 1、定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 2、利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧： （1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； （2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。 四、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 五、函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为D，如果存在x0∈D，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． 2、最小值：对于函数，其定义域为D，如果存在x0∈D，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． 3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 题型一 单调性的定义理解 【例1】若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【答案】D 【解析】根据函数单调性的定义： 必须是给定区间上的任意两个变量对应的函数值之间都相应恒有的大小关系. ∴由，几个特殊函数值的大小关系， 不能判断函数的单调性．故选：D 【变式1-1】设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增， 则任意两个不相等的实数，与应该同号， 所以，故选：C. 【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的单调性定义知， 若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号， 由此可知，选项A，B，D都正确. 若，则，故选项C不正确.故选：C. 【变式1-3】定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ） A．函数先增后减 B．函数是上的增函数 C．函数先减后增 D．函数是上的减函数 【答案】B 【解析】若，由得： 在上单调递增 若，由得：在上单调递增 综上所述：在上是增函数 题型二 根据函数图象判断单调性 【例2】如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的． 由图象