专题2.6 函数的奇偶性-重难点题型精练-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.6 函数的奇偶性-重难点题型精练 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2022•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定义域关于原点对称，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，从而得到a+b的值． 【解答过程】解：对于函数知f（x）＝ax2+bx， 依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0． 又 a﹣1＝﹣2a，∴a， ∴a+b． 故选：B． 2．（5分）（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　） A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1 【解题思路】化简函数f（x）＝1，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断． 【解答过程】解：由题意得，f（x）＝1． 对A，f（x﹣2）﹣1是奇函数； 对B，f（x﹣）+1＝2，关于（0，2）对称，不是奇函数； 对C，f（x+2）﹣1，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 对D，f（x+2）+1＝2，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数； 故选：A． 3．（5分）（2022春•满洲里市校级期末）若函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝log3x，则（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【解题思路】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝log3x，所以， 又由f（x）为奇函数，所以1， 故选：A． 4．（5分）（2022秋•渝中区校级月考）已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x+ln（x+1），则x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x﹣ln（1﹣x） B．x﹣ln（1﹣x） C．﹣x+ln（1﹣x） D．x+ln（1﹣x） 【解题思路】利用偶函数的性质对应求解即可． 【解答过程】解：令x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x+ln（﹣x+1）． 故选：C． 5．（5分）（2022•宝坻区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，先通过对称点的方法求出函数在区间（﹣∞，0）上的表达式，从而得出函数完整的表达式，然后利用对数函数y＝lnx图象向左平移一个单位的图象与原函数在（0，+∞）上图象进行对照，得到正确的选项． 【解答过程】解：∵当x＞0时，f（x）＝ln（x+1）， ∴设x＜0，得﹣x＞0，f（﹣x）＝ln（﹣x+1）， 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， 即当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x+1）， 综上所述，得f（x）， 由自然对数的底为e＝2.71828…＞1，当x＞0时原函数由对数函数y＝lnx图象左移一个单位而来， 得当x＞0时函数为增函数，函数图象是上凸的， 根据以上讨论，可得C选项符合条件， 故选：C． 6．（5分）（2022•黄州区校级二模）已知函数f（x）＝xln（e2x+1）﹣x2+1，f（a）＝2，则f（﹣a）的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解题思路】构造函数g（x）＝xln（e2x+1）﹣x2，可判g（x）为奇函数，易得答案． 【解答过程】解：构造函数g（x）＝xln（e2x+1）﹣x2， 则g（﹣x）+g（x）＝﹣xln（e﹣2x+1）﹣x2+xln（e2x+1）﹣x2 ＝xln2x2＝xlne2x﹣2x2＝0， 故函数g（x）为奇函数， 又f（a）＝g（a）+1＝2，∴g（a）＝1， ∴f（﹣a）＝g（﹣a）+1＝﹣g（a）+1＝0 故选：B． 7．（5分）（2021秋•城关区校级期末）若f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使得f（log2x）＜0的x的取值范围是（　　） A．（0，4） B．（4，+∞） C．（0，）∪（4，+∞） D．（，4） 【解题思路】偶函数图象关于y轴对称，所以只需求出（﹣∞，0]内log2x的范围，再根据对称性写出log2x解集，最后根据对数的单调性求出不等式的解集． 【解答过程】解：f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，∴在[0，+∞）上是增函数， ∴f（log2x）＝f（|log2x|），则不等式等价于f（|log2x|）＜f（2），∴|log2x|＜2． ∴﹣2＜log2x＜2∴x＜4． 故选：D