专题2.5 函数的奇偶性-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.5 函数的奇偶性-重难点题型精讲 1．函数的奇偶性 (1)定义： (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 【题型1 函数奇偶性的判断】 判断函数奇偶性的方法： (1)代数判断法 ：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数 f(-x)=f(x)的是偶函数； (2)几何判断法： 关于原点对称的函数是奇函数，关于y轴对称的函数是偶函数； (3)运算法则 ：①两个偶函数相加所得的和为偶函数；②两个奇函数相加所得的和为奇函数；③一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数；⑤两个奇函数相乘所得的积为偶函数；⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.  【例1】（2022•仁寿县校级模拟）下列函数为奇函数的是（　　） A．f（x）＝xe﹣x B． C．f（x）＝x2sinx D．f（x）＝ln|x| 【解题思路】先检验函数定义域，然后检验各选项中函数f（﹣x）与f（x）的关系即可判断． 【解答过程】解：A：定义域R，f（﹣x）＝﹣xex≠±f（x），f（x）为非奇非偶函数，不符合题意； B：定义域[0，+∞），关于原点不对称，f（x）为非奇非偶函数，不符合题意； C：定义域R，f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意； D：定义域{x|x≠0}，f（﹣x）＝ln|﹣x|＝ln|x|＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（2022春•毕节市期末）设函数，则下列函数中为偶函数的是（　　） A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1 【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，， 由此分析选项： 对于A，，是偶函数，符合题意； 对于B，f（x）+11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于C，f（x﹣1），既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 对于D，f（x）﹣11，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2022春•镇海区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（　　） A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝tan|x| D．y＝|sinx| 【解题思路】先研究定义域是否关于原点对称，再结合偶函数的定义、值域判断． 【解答过程】解：对应A，显然y≥0，值域不是R，故A错误； 对于B，易知，值域中不包含0，故B错误； 对于C，定义域为，关于原点对称，且tan|﹣x|＝tan|x|，该函数是偶函数，值域为R，故C正确； 对于D，值域为[﹣1，1]，值域不是R，故D错误． 故选：C． 【变式1-3】（2022春•兴庆区校级期末）已知函数，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在R是单调递增 B．是奇函数，且在R是单调递增 C．是偶函数，且在R是单调递减 D．是奇函数，且在R是单调递减 【解题思路】根据题意，由奇偶性的定义分析函数的奇偶性，再利用导数分析函数的单调性，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，函数，其定义域为R，有f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数， 又由f′（x）＝2xln2+（）xln2＝[2x+（）x]ln2＞0，则f（x）在R上为增函数， 故选：B． 【题型2 利用函数奇偶性求解析式】 求解析式的方法： 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于x的方程，从而得到f(x)的解析式.  【例2】（2022春•安康期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2 【解题思路】运用奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式． 【解答过程】解：f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x）， 设x＜0时，﹣x＞0， 当x＞0时，f（x）＝x