专题2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题2.1 函数的概念及其表示-重难点题型精讲 1．函数 函数 两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数记法 函数y＝f (x)，x∈A 2．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 3．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 5．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型1 函数的概念】 【方法点拨】 (1)函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以 “多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 【例1】（2022春•三明期末）已知集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，B＝{y|0＜y≤4}，则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是（　　） A．f：x→y＝x+1 B．f：x→y＝ex C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x| 【解题思路】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可． 【解答过程】解：A，当x时，y，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴A错误， B，∵﹣2＜x≤1，∴y＝ex∈（，e]⫋（0，4]，满足函数的定义，是从集合A到集合B的函数，∴B正确， C，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴C错误， D，当x＝0时，y＝0，则集合B中没有元素和x对应，不是从集合A到集合B的函数，∴D错误， 故选：B． 【变式1-1】（2022春•兴庆区校级期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【解题思路】根据题意，由函数的定义，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一个元素和它对应，进而可以得到答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析4个图形， 对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意， 对于②，符合题意， 对于③，符合题意， 对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义， 故选：C． 【变式1-2】（2021春•九龙坡区期末）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，图中表示A到B的函数的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的定义，举反例，一一判断即可． 【解答过程】解：对于A，B均有函数值不在集合B内；对于C，它是一对多，不是函数的图象． 故选：D． 【变式1-3】（2021秋•锡山区校级期中）下列各式中，表示y是x的函数的有（　　） ①y＝x﹣（x﹣3）； ②； ③； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解题思路】根据函数的定义即可判断． 【解答过程】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数， 在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数， 在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数， 故选：C． 【题型2 函数的定义域问题】 【方法点拨】 ①根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），即可求解，把不等式（组）的解集表示成集合或区间的形式. ②已知函数的定义域求参数，结合解析式有意义的条件，列出关于参数的关系式，即可得解. 【例2】（2022春•兴庆区校级期末）函数的定义域为（　　） A．{x|x＞﹣1且x≠0} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥﹣1且x≠0} D．{x|x＞﹣1} 【解题思路】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可． 【解答过程】解：要使原函数有意义，则：，解得x≥﹣1，且x≠0， ∴原函数