2.3 圆与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

2.3 圆与圆的位置关系 【知识点梳理】 知识点一：圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2．圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3．两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【题型归纳目录】 题型一：判断圆与圆的位置关系 题型二：求两圆的交点 题型三：由圆的位置关系确定参数 题型四：求两圆的公共弦方程、公共弦长 题型五：圆的公切线条数 题型六：圆的公切线方程 题型七：圆系问题 【典型例题】 题型一：判断圆与圆的位置关系 例1．（2022·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交． 故选：B． 例2．（2022·广西桂林·模拟预测（文））圆与圆的位置关系为（       ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】由与圆， 可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交． 故选：A． 例3．（2022·江苏·高二专题练习）已知直线与圆交于两个不同点，则当弦最短时，圆与圆的位置关系是（       ） A．内切 B．相离 C．外切 D．相交 【答案】D 【解析】易知直线过定点，弦最短时直线垂直， 又，所以，解得， 此时圆的方程是． 两圆圆心之间的距离， 又，所以这两圆相交． 故选：D． 例4．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期中）已知圆，圆， 则两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相切 【答案】B 【解析】由题设，：，：， ∴，半径；，半径； ∴，即两圆相交． 故选：B 例5．（2022·湖南岳阳·高二期末）圆与圆外切，则实数_________． 【答案】9 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则 根据题意可得：，即，∴ 故答案为：9． 例6．（2022·上海徐汇·高二期末）已知圆和圆内切，则m的值为___________． 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 又因为两圆内切，有， 解得． 故答案为：． 例7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________． 【答案】 【解析】由题可知： ，即 且 由两圆向外切可知，解得 所以 到直线的距离为，设圆的半径为 则直线被圆所截的弦长为 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可． 题型二：求两圆的交点 例8．（2022·江苏·高二课时练习）若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程． 【解析】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：． 例9．（2022·全国·高二课时练习）求圆与圆的交点的坐标． 【解析】由题设，，相减可得， 所以，解得或， 当时，；当时，； 所以交点坐标为、． 例10．（2022·全国·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，．